Question

请尝试解决以下问题：

（1）如图1，在正方形ABCD中，点E，F分别为DC，BC边上的点，且满足∠EAF=45°，连接EF，求证DE+BF=EF．

感悟解题方法，并完成下列填空：

将△ADE绕点A顺时针旋转90°得到△ABG，此时AB与AD重合，

由旋转可得：AB=AD,BG=DE, ∠1=∠2，∠ABG=∠D=90°,

∴∠ABG+∠ABF=90°+90°=180°，

因此，点G，B，F在同一条直线上．

∵∠EAF=45°  ∴∠2+∠3=∠BAD-∠EAF=90°-45°=45°．

∵∠1=∠2，   ∴∠1+∠3=45°．

即∠GAF=∠_________．

又AG=AE，AF=AF

∴△GAF≌_______．

∴_________=EF，故DE+BF=EF．

（2）运用（1）解答中所积累的经验和知识，完成下题：

如图2，在直角梯形ABCD中，AD∥BC（AD＞BC），∠D＝90°，AD＝CD＝10，E是CD上一点，且∠BAE＝45°，DE＝4，求BE的长．

（2）类比（1）证明思想完成下列问题：在同一平面内，将两个全等的等腰直角三角形ABC和AFG摆放在一起，A为公共顶点，∠BAC=∠AGF=90°，若∆ABC固定不动，∆AFG绕点A旋转，AF、AG与边BC的交点分别为D、E(点D不与点B重合，点E不与点C重合)，在旋转过程中，等式BD+CE=DE始终成立，请说明理由．

Answer

【解析】
(1)EAF、△EAF、GF                                              

 (2) 过A作AG⊥BC，交BC延长线于G．

在直角梯形ABCD中，

∵AD∥BC，∴∠C＝∠D＝90°，

又∠CGA＝90°，AD＝CD，

∴四边形AGCD 为正方形．                                              

∴CG＝AD＝10．

已知∠BAE＝45°，

根据（1）可知，BE＝GB＋DE．                     

设BE＝x，则BG＝x－4，

∴BC＝14－x．

在Rt△BCE中，   ∵，即．      

解这个方程，得：x＝．

∴BE＝．                                                          

（3）证明:如下图,将∆ACE绕点A顺时针旋转90°至∆ABH的位置，      

则CE=HB,AE=AH，∠ABH=∠C=45°，旋转角∠EAH=90°.                

连接HD,在∆EAD和∆HAD中

∵AE=AH，∠HAD=∠EAH-∠FAG=45°=∠EAD, AD=AD.

∴∆EAD≌∆HAD   ∴DH=DE                                       

又∠HBD=∠ABH+∠ABD=90°  ∴BD+HB=DH

即BD+CE=DE                       

【解析】（1）利用角之间的等量代换得出∠GAF=∠FAE，再利用SAS得出△GAF≌△EAF，得出答案；

（2）过A作AG⊥BC，交BC延长线于G，由正方形的性质得出CG=AD=10，再运用勾股定理和方程求出BE的长；

（3）运用旋转性质和勾股定理判断说明等式成立．