Question

如图，一次函数 的图像与 轴、轴分别相交于点 、．二次函数的图像与 轴的正半轴相交于点，与这个一次函数的图像相交于点、，．

（1） 求点的坐标；

（2）如果，求这个二次函数的解析式．

Answer

（1）点的坐标（0，3）（2）

【解析】（1）（，0），，                                              （1分）

        在Rt△中，∵，，              （2分）

   ∴，∴点的坐标（0，3）．             （1分）

（2）当点在延长线上时，

∵（0，1），

∴，

∴，

∵ ，，

∴△∽△．                                               （1分）

∴，

∴，

∴．                                                     （1分）

    过点作⊥轴，垂足为，

∵ //，

∴，

∴．

∴，

∴点的坐标为（4，5）．                                           （1分）

设二次函数的解析式为，∴             （1分）

∴

∴二次函数解析式为．                              （1分）

当点在射线上时，同理可求得点，                    （2分）

二次函数解析式为．                                   （1分）

评分说明：过点作于，当点在延长线上或点在射线上时，可用锐

角三角比等方法得（1分），（1分），另外分类有1分其余同上．

（1）先求出A点坐标为（-1，0），B点坐标为（0，1），则OA=1，OB=1，AB=，再根据正弦的定义得sin∠ACB=，而AC=，则OA=，然后根据勾股定理可计算出OC=3，从而确定点C的坐标为（0，3）；

（2）分类讨论：当点D在AB延长线上时，如图1，过点D作DE⊥y轴，垂足为E，由于∠CDB=∠ACB，∠BAC=∠CAD，根据相似的判定得△ABC∽△ACD，则AD：AC=AC：AB，即AD：=：，可计算出AD=5，易得ADE为等腰直角三角形，则DE=AE=AD=×5=5，OE=4，得到点D的坐标为（4，5），然后设一般式，利用待点系数法求过A（-1，0）、C（0，3）、D（4，5）的二次函数的解析式；当点D在射线BA上，如图2，过点D作DE⊥y轴，垂足为E，与前面的解法相同．