Question

已知：如图1，线段AB、CD相交于点O，连结AD、CB，我们把形如图1的图形称之为“8字形”．试解答下列问题：

（1）在图1中，请直接写出∠A、∠B、∠C、∠D之间的数量关系：________________________；

（2）仔细观察，在图2中“8字形”的个数：__________个；

（3）在图2中，若∠D=40°,∠B=36°，∠DAB和∠BCD的平分线AP和CP相交于点P，并且与CD、AB分别相交于M、N．利用（１）的结论，试求∠P的度数；

图2

（4）如果图2中∠D和∠B为任意角时，其他条件不变，试问∠P与∠D、∠B之间存在着怎样的数量关系．（直接写出结论即可）

Answer

(1) ∠A+∠D=∠B+∠C    (2) 6个

(3) 38°               (4) ∠P=(∠B+∠D)

【解析】（1）根据三角形内角和定理即可得出∠A+∠D=∠C+∠B；

（2）根据“8字形”的定义，仔细观察图形即可得出“8字形”共有6个；

（3）先根据“8字形”中的角的规律，可得∠DAP+∠D=∠P+∠DCP①，∠PCB+∠B=∠PAB+∠P②，再根据角平分线的定义，得出∠DAP=∠PAB，∠DCP=∠PCB，将①+②，可得2∠P=∠D+∠B，进而求出∠P的度数．

（4）根据三角形内角和定理、角平分线性质、等量代换即可求得∠P=(∠B+∠D)