Question

已知：如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=，且60°<<120°．P为△ABC内部一点，且PC=AC，∠PCA=120°—．

（1）用含的代数式表示∠APC，得∠APC =_______________________；

（2）求证：∠BAP=∠PCB；

（3）求∠PBC的度数．

Answer

（1）∠APC．     

   （2）证明：如图5． 

∵CA=CP，

        ∴∠1=∠2=．

        ∴∠3=∠BAC－∠1==．

        ∵AB=AC，

        ∴∠ABC=∠ACB==．

        ∴∠4=∠ACB－∠5==．

        ∴∠3=∠4．

        即∠BAP=∠PCB．                         

（3）在CB上截取CM使CM=AP，连接PM（如图6）．

        ∵PC=AC，AB=AC，

        ∴PC=AB．

        在△ABP和△CPM中，

           AB=CP，

           ∠3=∠4，

           AP=CM，

∴△ABP≌△CPM．

        ∴∠6=∠7， BP=PM．

        ∴∠8=∠9．

        ∵∠6=∠ABC－∠8，∠7=∠9－∠4，

∴∠ABC－∠8=∠9－∠4．

        即（）－∠8=∠9－（）．

        ∴ ∠8＋∠9=．  ∴2∠8=．

        ∴∠8= 即∠PBC=．                          

【解析】（1）利用等边对等角得

       （2）根据等边对等角，用的代数式表示出

（3）构造三角形全等，得出角相等即可。