Question

如图，AB是⊙O的直径，点E是AB上的一点，CD是过E点的弦，过点B的切线交AC的延长线于点F，BF∥CD，连接BC．

（1）已知，，求弦CD的长；

（2）连接BD，如果四边形BDCF为平行四边形，则点E位于AB的什么位置？试说明理由．

Answer

（1）（2）点E是AB的中点，理由见解析

【解析】（1）【解析】
∵BF与⊙O相切，

∴．····························· 1分

而BF∥CD，∴．

又∵AB是直径，∴．······················ 2分

连接CO，

设，则．

由勾股定理可知：，

即，．····················· 4分

因此．··············· 5分

（2）∵四边形BDCF为平行四边形，

∴．

而，   ∴．·················· 7分

∵BF∥CD，   ∴△AEC∽△ABF．····················· 8分

∴．   ∴点E是AB的中点．  9分

（1）由BF与⊙O相切，根据切线的性质，可得BF⊥AB，又由BF∥CD，易得CD⊥AB，由垂径定理即可求得CE=DE，然后连接CO，设OE=x，则BE=9-x，由勾股定理即可求得OE的长，继而求得CD的长；

（2）由四边形BDCF为平行四边形，根据平行四边形的性质，即可得CD=BF，又由△AEC∽△ABF，即可求得点E是AB的中点．