Question

如图，菱形ABCD中，∠B＝60º，点E在边BC上，点F在边CD上．

(1)如图1，若E是BC的中点，∠AEF＝60º，

求证：BE＝DF；

(2)如图2，若∠EAF＝60º，

求证：△AEF是等边三角形．

Answer

证明：（1）连接AC。

∵菱形ABCD中，∠B=60°，

∴AB=BC=CD，∠C=180°－∠B=120°。

∴△ABC是等边三角形。

∵E是BC的中点，∴AE⊥BC。

∵∠AEF=60°，∴∠FEC=90°－∠AEF=30°。

∴∠CFE=180°－∠FEC－∠C=180°－30°－120°=30°。∴∠FEC=∠CFE。

∴EC=CF。∴BE=DF。

（2）连接AC。

∵四边形ABCD是菱形，∠B=60°，

∴AB=BC，∠D=∠B=60°，∠ACB=∠ACF。

∴△ABC是等边三角形。

∴AB=AC，∠ACB=60°。∴∠B=∠ACF=60°。

∵AD∥BC，

∴∠AEB=∠EAD=∠EAF+∠FAD=60°+∠FAD，∠AFC=∠D+∠FAD=60°+∠FAD。

∴∠AEB=∠AFC。

在△ABE和△AFC中，∵∠B=∠ACF，∠AEB=∠AFC， AB=AC，  

∴△ABE≌△ACF（AAS）。∴AE=AF。

∵∠EAF=60°，∴△AEF是等边三角形。

【解析】菱形的性质，等边三角形的判定和性质，三角形内角和定理 全等三角形的判定和性质。

【分析】（1）连接AC，由菱形ABCD中，∠B=60°，根据菱形的性质，易得△ABC是等边三角形，

又由三线合一，可证得AE⊥BC，从而求得∠FEC=∠CFE，即可得EC=CF，从而证得BE=DF。

（2）连接AC，可得△ABC是等边三角形，即可得AB=AC，以求得∠ACF=∠B=60°，然后利用平行线与三角形外角的性质，可求得∠AEB=∠AFC，证得△AEB≌△AFC，即可得AE=AF，证得：△AEF是等边三角形。