Question

如图，在平面直角坐标系中，直角三角形AOB的顶点A、B分别落在坐标轴上．O为原点，点A的坐标为（6，0），点B的坐标为（0，8）．动点M从点O出发．沿OA向终点A以每秒1个单位的速度运动，同时动点N从点A出发，沿AB向终点B以每秒个单位的速度运动．当一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动，设动点M、N运动的时间为t秒（t＞0）．

（1）当t=3秒时．直接写出点N的坐标，并求出经过O、A、N三点的抛物线的解析式；

（2）在此运动的过程中，△MNA的面积是否存在最大值？若存在，请求出最大值；若不存在，请说明理由；

（3）当t为何值时，△MNA是一个等腰三角形？

Answer

【解析】
（1）N（3，4）。

                ∵A（6，0）

∴可设经过O、A、N三点的抛物线的解析式为：y=ax（x﹣6），则将N（3，4）代入得

4=3a（3﹣6），解得a=﹣。

∴抛物线的解析式：。

（2）存在。过点N作NC⊥OA于C，

由题意，AN=t，AM=OA﹣OM=6﹣t，

∴NC=NA•sin∠BAO=。

∴。

∴△MNA的面积有最大值，且最大值为6。

（3）在Rt△NCA中，AN=t，NC=AN•sin∠BAO=，AC=AN•cos∠BAO=t。

  ∴OC=OA﹣AC=6﹣t。∴N（6﹣t，）。

∴。

又AM=6﹣t且0＜t＜6，

①当MN=AN时，，即t2﹣8t+12=0，解得t1=2，t2=6（舍去）。

②当MN=MA时，，即，解得t1=0（舍去），t2=。

③当AM=AN时，6﹣t=t，即t=。

综上所述，当t的值取 2或或 时，△MAN是等腰三角形。

【解析】二次函数综合题，动点问题，勾股定理，待定系数法，曲线上点的坐标与方程的关系，锐角三角函数定义，二次函数的最值，等腰三角形的性质。

（1）由A、B的坐标，可得到OA=6，OB=8，根据勾股定理可得AB=10。

当t=3时，AN=t=5=AB，即N是AB的中点，由此得到点N的坐标N（3，4）。

利用待定系数法，设交点式求出抛物线的解析式。

（2）△MNA中，过N作MA边上的高NC，先由∠BAO的正弦值求出NC的表达式，而AM=OA-OM，由三角形的面积公式可得到关于S△MNA关于t的函数关系式，由二次函数的最值原理即可求出△MNA的最大面积。

（3）首先求出N点的坐标，然后表示出AM、MN、AN三边的长。由于△MNA的腰和底不确定，若该三角形是等腰三角形，可分三种情况讨论：①MN=NA、②MN=MA、③NA=MA；直接根据等量关系列方程求解即可。