Question

如图，长方形纸片ABCD中，AB=8cm，AD=6cm，按下列步骤进行裁剪和拼图：

    第一步：如图①，在线段AD上任意取一点E，沿EB，EC剪下一个三角形纸片EBC(余下部分不再使用)；

    第二步：如图②，沿三角形EBC的中位线GH将纸片剪成两部分，并在线段GH上任意取一点M，线段BC上任意取一点N，沿MN将梯形纸片GBCH剪成两部分；

    第三步：如图③，将MN左侧纸片绕G点按顺时针方向旋转180°，使线段GB与GE重合，将MN右侧纸片绕H点按逆时针方向旋转180°，使线段HC与HE重合，拼成一个与三角形纸片EBC面积相等的四边形纸片．

    (注：裁剪和拼图过程均无缝且不重叠)

    则拼成的这个四边形纸片的周长的最小值为________cm，最大值为________cm．

Answer

20，（MN最短就是AB一半，最长就是AB中点到C距离）

【解析】画出第三步剪拼之后的四边形M1N1N2M2的示意图，如图，

N1N2=EN1+EN2=NB+NC=BC，

M1M2=M1G+GM+MH+M2H=2（GM+MH）=2GH=BC（三角形中位线定理），

又∵M1M2∥N1N2，∴四边形M1N1N2M2是一个平行四边形，

其周长为2N1N2+2M1N1=2BC+2MN．

∵BC=6为定值，∴四边形的周长取决于MN的大小．

如图，

是剪拼之前的完整示意图．

过G、H点作BC边的平行线，分别交AB、CD于P点、Q点，则四边形PBCQ是一个矩形，这个矩形是矩形ABCD的一半．

∵M是线段PQ上的任意一点，N是线段BC上的任意一点，

根据垂线段最短，得到MN的最小值为PQ与BC平行线之间的距离，即MN最小值为4；

而MN的最大值等于矩形对角线的长度，即  =

∵四边形M1N1N2M2的周长=2BC+2MN=12+2MN，

∴四边形M1N1N2M2周长的最小值为12+2×4=20，

最大值为12+2×2 =12+4．