Question

如图①在梯形ABCD中，AD∥BC。AB=DC

（1）如果点P，E和F分别是BC，AC和BD的中点，证明：AB=PE＋PF

（2）如果点P是线段BC上任意一点（中点除外），PE∥AB，PF∥DC，如图②所示，那么AB=PE＋PF这个结论还成立吗？请说明理由

（3）如果点P在线段BC的延长线上， PE∥AB，PF∥DC，其他条件不变，那么结论AB=PE＋PF是否成立？直接写出结论，不必证明。

Answer

（1）证明：∵P、F分别为BC、BD的中点，

∴PF=CD，

同理：PE=AB，

又∵AB=CD，

∴PF=AB，

∴AB=PE+PF；

（2）答：成立，AB=PE+PF．

证明：延长PE交AD于G，

∵AG∥BP，AB∥PG，

∴四边形ABPG为平行四边形．

∴AG=BP，∠AGP=∠ABP．

∵四边形ABCD是等腰梯形，

∴AB=DC，

∴∠ABC=∠DCB且BC为公共边，

∴△ABC≌△DCB（SAS），

∴∠ACB=∠FBP，

又∵AD∥BC，

∴∠DAC=∠ACB，

∴∠DAC=∠FBP，

∵FP∥CD，

∴∠FPB=∠DCB．

∴∠FPB=∠AGE．

∴△AEG≌△BPF（ASA）．

∴AB=PG=PE+PF．

（3）答：AB=PF-PE．

【解析】（1）由于PF是△BDC的中位线，PE是△ABC的中位线而AB=CD，故有PF=PE;

（2）延长PE交AD于G，易证：四边形ABPG为平行四边形，可证：△AEG≌△BPF，得EG=PF，故有AB=PG=PE+PF;

（3）延长AD交EP于G，易证：四边形DGPC为平行四边形，可证：△DFG≌△CPF，得FG=PF，故有AB=PG=PE-PF.