Question

随州购物中心准备采购数量相同的甲、乙两种衬衫，每件以相同的售价x元出售，其中50≤x≤120，甲种衬衫每件进价为30元，当每件定价为50元时，月销售量为120件，每件售价不超过100元时，价格每上涨1元，每件销量减少1件；售价超过100元时，超过100元的部分，每上涨1元，销量减少2件，销售甲种衬衫的月利润为y₁（元），销售乙种衬衫的月利润为y₂（元），且y₂与x的函数关系为y₂＝，销售这两种衬衫的月利润W（元）是y₁与y₂的和。

（1）求y₁关于x的函数关系式。

（2）求出W关于x的函数关系式。

（3）商场经理如何采购，如何定价，才能使每月获得的总利润W最大？说明理由。

Answer

（1）当50≤x≤100时，y1＝－x2＋200x－5100, 100≤x≤120时，y1＝－2x2＋330x＋8100

（2）50≤x≤80时，W＝－x2＋220x－5900, 80＜x≤100时，W＝－x2＋190x－3500, 100＜x≤120时，W＝－2x2＋320x－6500（3）甲、乙两种衬衫均采购75件，定价为每件95元，每月获得总利润最大。

【解析】（1）当50≤x≤100时，y1＝(x－30)［120－（x－50）］＝－x2＋200x－5100

100≤x≤120时，y1＝（x－30）［120－（100－50）－2（x－100）］＝－2x2＋330x＋8100

（2）50≤x≤80时，W＝y1＋y2＝－x2＋220x－5900

80＜x≤100时，W＝y1＋y2＝－x2＋190x－3500

100＜x≤120时，W＝y1＋y2＝－2x2＋320x－6500

50≤x≤80时，对和轴x＝110，抛物线开口向下

∴50≤x≤80，W随x增大而增大，x＝80时，W最大＝5300

80≤x≤100时，对称轴x＝95，抛物线开口向下

∴x＝95时，W最大＝5525

100≤x≤120时，对称轴x＝80抛物线开口向下

∴100≤x≤120在对称轴右侧，W随x增大而减小

∴x＝100时，W最大＝5500

∵5525＞5500＞5300

∴x＝95时，最大利润为5525元，销售量为75件

答：甲、乙两种衬衫均采购75件，定价为每件95元，每月获得总利润最大。

（1）根据已知销售价x（元）与销量之间的关系得出x的取值范围；根据x的取值范围得出利润与单价以及销量之间的关系式；

（2）根据y1与y2的函数关系式，得出y1+y2=w，求出即可；

（3）根据自变量的取值范围，分别求出二次函数最值即可．