Question

矩形OABC在平面直角坐标系中位置如图所示，A、C两点的坐标分别为A（6，0），C（0，－3），直线与BC边相交于D点．

（1）求点D的坐标；

（2）若抛物线经过点A，求此抛物线的表达式及对称轴；

（3）设（2）中的抛物线的对称轴与直线OD交于点M，点P为坐标轴上一动点，以P、O、M为顶点的三角形与△OCD相似，求出点M的坐标和符合条件的点P的坐标．

（4）当（3）中符合条件的△POM面积最大时，过点O的直线将其面积分为∶两部分，请直接写出直线的解析式

Answer

（1）∵D是直线与BC的交点，

可得D的坐标为（4，―3）．                        …………………2分

（2）点A代入，解得抛物线的

表达式为．                            …………………2分

对称轴是直线                               …………………1分

（3）点M的横坐标为3，代入直线求得M（3，－      …………………1分

对称轴与x轴交点P1符合，P1               …………………1分

过M作y轴的垂线交y轴于点Ｐ2，则Ｐ2符合条件，

解得P2（0，－）                              …………………1分

过Ｍ作ＯＭ的垂线分别交ｘ轴ｙ轴于点P3、P4，

则P3（、P4（0，                     …………………2分

（4）或                            …………………2分

【解析】(1)根据点D是直线与BC的交点，从而求出点D的坐标；

（2）把A点坐标代入抛物线方程中得出此抛物线的解析式，利用抛物线性质得出它的对称轴；

（3）先求出M点坐标，然后根据相似三角形比例关系求出P点坐标；

（4）利用面积比等于等高的三角形的底边之比从而求出直线的解析式。