Question

如图，为⊙的直径，，交于点，，．

(1)求证：；

(2)求的长；

(3)延长到，使得，连接，试判断直 线与⊙的位置关系，并说明理由．

【解析】（1）根据AB=AC，可得∠ABC=∠C，利用等量代换可得∠ABC=∠D然后即可证明△ABE∽△ADB．

（2）根据△ABE∽△ADB，利用其对应边成比例，将已知数值代入即可求得AB的长．

（3）连接OA，根据BD为⊙O的直径可得∠BAD=90°，利用勾股定理求得BD，然后再求证∠OAF=90°即可

Answer

【解析】
(1)证明：∵AB=AC，

∴∠ABC=∠C，                       …………1分

∵∠C=∠D，

∴∠ABC=∠D，                       …………2分

又∵∠BAE=∠EAB，

∴△ABE∽△ADB，                   …………3分

(2) ∵△ABE∽△ADB，

∴，                             …………4分

∴AB2=AD·AE=(AE＋ED)·AE=(2＋4)×2=12      …………5分

∴AB=．…………6分                   

(3) 直线FA与⊙O相切，理由如下：

连接OA，   …………7分

∵BD为⊙O的直径，

∴∠BAD=90°，

∴，

BF=BO=，…………8分

∵AB=，

∴BF=BO=AB，可证∠OAF=90°，

∴直线FA与⊙O相切．…………10分