Question

已知关于x的一元二次方程x² = 2(1—m)x—m²的两实数根为x₁，x₂，

1.求m的取值范围；

2.设y = x₁ + x₂，当y取得最小值时，求相应m的值，并求出y的最小值。

Answer

1.整理原方程，得x2 + 2(m—1)x + m2 = 0，

∵ 原方程有两个实数根，

∴ △= [2(m—1)]2—4×1×m2 = —8m+4≥0，

解得m≤,

2.∵ x1，x2是方程x2 + 2(m—1)x + m2 = 0的两个实数根，

∴ x1 + x2 = —2(m—1) = —2m + 2，

∵ y = x1 + x2，

∴ y = —2m + 2，

∵ —2 < 0，

∴ y随m的增大而减小，

∵ m≤,

∴ 当m = 时，y取得最小值，且最小值是：y最小 =。

【解析】

1.若一元二次方程有两不等根，则根的判别式△=b2-4ac≥0，建立关于m的不等式，可求出m的取值范围；

2.根据根与系数的关系可得出x1+x2的表达式，进而可得出y、m的函数关系式，根据函数的性质及（1）题得出的自变量的取值范围，即可求出y的最小值及对应的m值．