Question

已知点P是直线（＞0，）上一定点，点A 是轴上一动点（不与原点重合），连结PA，过点P 作PB⊥PA，交轴于点B，探究线段PA与PB 的数量关系.

1.如图（1），当PA⊥轴时，观察图形发现线段PA与PB的数量关系是__________；

2.当PA与轴不垂直时，在图（2）中画出图形，线段PA与PB 的数量关系是否与（Ⅰ）所得结果相同？写出你的猜想并加以证明；

3.为何值时，线段PA=PB？此时∠POA的度数是多少，为什么？

Answer

1.PA=PB.                                           ……2分

2.如图2，过P 作PC⊥轴于C，PD⊥轴于D，设P（，）.

∵∠BPD+∠DPA=∠APB=90°，∠APC+∠DPA=∠CPD=90°，

∴∠APC=∠BPD.∴Rt△APC∽Rt△BPD.                  ……4分

∴.∴.∴PA=PB.               ……6分

3.当=1时，PA=PB，此时∠POA=45°或∠POA=135°. ……8分

这是因为 由（Ⅱ）得PA=PB，所以当=1时，PA=PB.

此时Rt△APC≌Rt△BPD，∴PC=PD，

即点P到轴、轴的距离相等，所以直线（=1）平分一、三象限的夹角.

∴∠POA=45°或∠POA=135°（如图3）.                  ……10分

【解析】(I)根据OAPB是矩形从而得出P点的坐标，并把它代入到正比例函数中得出结论；

（II）过P点作PC⊥轴于C，PD⊥轴于D，证明出Rt△APC∽Rt△BPD.从而得出，即PA=PB；

（III）如果PA=PB，即k=1，那么分A点在x轴正负半轴两种情况得出∠POA的度数。