Question

已知关于x的一元二次方程x² = 2（1－m）x－m² 的两实数根为x₁，x₂．

（1）求m的取值范围；

（2）设y = x₁ + x₂，当y取得最小值时，求相应m的值，并求出最小值．

Answer

（1）将原方程整理为 x2 + 2（m－1）x + m2 = 0．

∵ 原方程有两个实数根，

∴ △= [ 2（m－1）2－4m2 =－8m + 4≥0，得 m≤．

（2） ∵ x1，x2为x2 + 2（m－1）x + m2 = 0的两根，

∴ y = x1 + x2 =－2m + 2，且m≤．

因而y随m的增大而减小，故当m =时，取得极小值1．

【解析】（1）若一元二次方程有两不等根，则根的判别式△=b2-4ac≥0，建立关于m的不等式，可求出m的取值范围；

（2）根据根与系数的关系可得出x1+x2的表达式，进而可得出y、m的函数关系式，根据函数的性质及（1）题得出的自变量的取值范围，即可求出y的最小值及对应的m值．