Question

已知：如图，梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，AD=，BC=，DC=，

且，点M是AB边的中点．

（1）求证：CM⊥DM；

（2）求点M到CD边的距离．（用含，的式子表示）

Answer

证明：（1）延长DM，CB交于点E．（如图3）

∵梯形ABCD中，AD∥BC，

∴∠ADM=∠BEM．

∵点M是AB边的中点，

∴AM=BM．

在△ADM与△BEM中，

        ∠ADM=∠BEM，

            ∠AMD=∠BME，

            AM=BM，

∴△ADM≌△BEM． 

∴AD=BE=，DM=EM．

∴CE=CB+BE=．

∵CD=，

∴CE=CD．

∴CM⊥DM．

     【解析】
（2）分别作MN⊥DC，DF⊥BC，垂足分别为点N，F．（如图4）

∵CE=CD，DM=EM，

   ∴CM平分∠ECD．              

   ∵∠ABC= 90°，即MB⊥BC，             

   ∴MN=MB． 

   ∵AD∥BC，∠ABC=90°，

   ∴∠A=90°．

   ∵∠DFB=90°，

   ∴四边形ABFD为矩形．

   ∴BF= AD=，AB= DF． 

   ∴FC= BC－BF =．              

∵Rt△DFC中，∠DFC=90°，

   ∴==．

   ∴ DF=．

   ∴MN=MB=AB=DF=．

   即点M到CD边的距离为．

【解析】（1）等腰三角形三线合一，证得CE=CD，即可得CM⊥DM；

      （2）构建直角三角形利用勾股定理求解。