Question

如图，直线交直线于轴上一点，交轴上另一点，交轴于另一点,二次函数（＞0）的图像过点、两点，点是线段上由向移动的动点，线段（1＜＜8）。

⑴为何值时，为圆心为半径的圆与相切；

⑵设抛物线对称轴与直线相交于点，请在轴上求一点，使的周长最小；

⑶设点是上由向移动的一动点，且，若的面积为，求与的函数关系式，当为等腰三角形时，请直接写出的值。

Answer

⑴3⑵（⑶，①PQ=PC   则t=，②CP=CQ   则 t=4，

③QC=QP   则 t=

【解析】【解析】
⑴∵B、C在x轴上且抛物线经过B、C两点

   ∴令   且＞0    

   ∴     即B（-2,0）、C（8,0）

在Rt，  OA=6，OC=8，  ∴AC=10

过点P作PE⊥AC，垂足为E，则易证∽

∴     ∴     ∴

当P为圆心，OP 为半径的圆与相切时，即PE=OP

∴      则                       (3分)

⑵抛物线的对称轴为

直线经过A(0,6)、C（8,0），  易求的解析式为    ∴M（3，）

为求得的周长最小，作点A 的关于x轴的对称点

则经过、M两点的直线与x轴的交点即为点N

∴直线M的解析式为      ∴N（      （6分）

⑶与的函数关系式为

若为等腰三角形，分三种情况：

①PQ=PC   则t=

②CP=CQ   则 t=4

③QC=QP   则 t=                                    （9分）

⑴由已知求得B、C两点的坐标，过点P作PE⊥AC，垂足为E，证得∽，得出PE的长，求出的值

⑵通过的解析式，求得M点的坐标，为求得的周长最小，作点A 的关于x轴的对称点，则经过、M两点的直线与x轴的交点即为点N

⑶根据三角形的面积公式求得，若为等腰三角形，分三种情况讨论