Question

如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠A＝90°，AB＝AD＝6，DE⊥DC交AB于E，DF平分∠EDC交BC于F，连接EF．求证：EF＝CF．

Answer

（1）证明：如图

过点D作BC的垂线，垂足为G

因为ABCD为直角梯形，∠A=90°

所以，∠B=90°

又DG⊥BC

所以，四边形ABGD为矩形

已知AB=AD=6

所以，四边形ABGD为正方形

所以，AD=GD…………………………………………………（1）

已知DE⊥DC

所以，∠EDC=90°

即，∠EDG+∠CDG=90°

而在正方形ABGD中，∠EDG+∠ADE=90°

所以，∠ADE=∠CDG…………………………………………（2）

又∠A=∠DGC=90°…………………………………………（3）

所以，由(1)(2)(3)知：Rt△DAE≌Rt△DGC（ASA）

所以，DE=DC

已知DF为∠EDC平分线，则：∠EDF=∠CDF

边DF公共 边

所以：△EDF≌△CDF（SAS）

所以，EF=CF

【解析】过点D作BC的垂线，结合题中条件构建出正方形，然后通过证明三角形全等证明线段相等。