Question

正方形边长为4，、分别是、上的两个动点，当点在上运动时，保持和垂直，设MB=x

（1）证明：；

（2）当点运动到什么位置时，

求此时的值．

Answer

（1）证明过程见解析，（2）M运动到BC中点时相似，x=2

【解析】（1）证明：∵四边形ABCD为正方形，

∴∠B=∠C=90°，

又∵AM⊥MN，

∴∠AMN=90°，

∴∠AMB+∠NMC=90°，

而∠AMB+∠BAM=90°，

∴∠BAM=∠NMC，

∴Rt△ABM∽Rt△MCN，

（2）M运动到BC中点时相似

∵△ABM∽△AMN，

∴AB：BM=AM：MN，又MB=x，

AM=，

MN= =

：=

∴4：x= ： ，

（4-x）2（16+x2）=x2（16+x2），

16-8x=0，

解得x=2．即M运动到BC中点时相似