Question

已知：如图，N、M是以O为圆心，1为半径的圆上的两点，B是上一动点（B不与点M、N重合），∠MON=90°，BA⊥OM于点A，BC⊥ON于点C，点D、E、F、G分别是线段OA、AB、BC、CO的中点，GF与CE相交于点P，DE与AG相交于点Q．

1.四边形EPGQ              （填“是”或者“不是”）平行四边形；

2.若四边形EPGQ是矩形，求OA的值；

3.连结PQ，求的值．

Answer

1.是

2.

3.

【解析】【解析】
（1） 是

（2）∵EPGQ是矩形．

∴∠CED=90°

∠AED+∠CEB =90°．

∵BA⊥OM， 

∠BAO=90°

∴∠AED+∠EDA =90°

∴∠EDA=∠CEB．

∵BA⊥OM，BC⊥ON, ∠AOC =90°

∴OABC是矩形.

∴BC=OA, AB=OC

∠ABC=∠BAO=90°

∴△AED∽△BCE．∴.

设OA=x，AB=y，

则

得．又 ，

即．

∴，

解得．

∴OA的值为

（2）连结GE交PQ于，过点P作OC的平行线分别交BC、GE于点、．

∵四边形PGQE是平行四边形

∴．

∵BC∥GE

∴△PCF∽△PEG，

,

∴

,

∴ ．

在Rt△中，，

即 ，

又 ，

∴ ， 

∴ ．说明：以上各题的其它解法只要正确.