Question

 已知：如图，⊙O的内接△ABC中，∠BAC＝45°，∠ABC ＝15°，AD∥OC并交BC的延长线于D，OC交AB于E。

1.（1）求∠D的度数；

2.（2）求证：；

3.（3）求的值。

Answer

1.（1）【解析】
如图3，连结OB。- - - - - - -  1分

∵ ⊙O的内接△ABC中，∠BAC＝45°，

    ∴ ∠BOC ＝2∠BAC ＝90°。

∵ OB＝OC ，

∴ ∠OBC ＝∠OCB ＝45°。

∵ AD∥OC ，

∴ ∠D ＝∠OCB ＝45°。 - - - - - - - -  - - - -2分

2.（2）证明：∵ ∠BAC ＝45°，∠D ＝45°，

∴ ∠BAC ＝∠D 。 - - - - - - - - - - - - - 3分

∵ AD∥OC ，

∴ ∠ACE ＝∠DAC 。 - - - - - - - - - - - -4分

∴ △ACE ∽△DAC 。

∴  。

∴ 。- - - - - - - - - - - - - - 5分

3.（3）解法一：如图4，延长BO交DA的延长线于F，连结OA 。

∵ AD∥OC ，

∴ ∠F＝∠BOC ＝90°。

    ∵ ∠ABC ＝15°，

∴ ∠OBA ＝∠OBC －∠ABC ＝30°。

∵ OA ＝ OB ，

∴ ∠FOA＝∠OBA＋∠OAB ＝60°，∠OAF ＝30°。

∴ 。

∵ AD∥OC ，

∴ △BOC ∽△BFD 。

∴  。

∴ ，即的值为2。 - - - - - - - - -- - - - -7分

解法二：作OM⊥BA于M，设⊙O的半径为r，可得BM＝，OM＝，，，BE＝，AE＝，所以

【解析】略