Question

（本题满分12分）如图，在平面直角坐标系中，直线分别交轴，轴于A，B两点，点C为OB的中点，点D在第二象限，且四边形AOCD为矩形．

（1）直接写出点A，B的坐标，并求直线AB与CD交点的坐标；

（2）动点P从点C出发，沿线段CD以每秒1个单位长度的速度向终点D运动；同时，动点M从点A出发，沿线段AB以每秒个单位长度的速度向终点B运动，过点P作，垂足为H，连接，．设点P的运动时间为秒．

①若△MPH与矩形AOCD重合部分的面积为1，求的值；

②点Q是点B关于点A的对称点，问是否有最小值，如果有，求出相应的点P的坐标；如果没有，请说明理由．

Answer

【解析】
（1），．···································································· 1分

当时，，．

所以直线AB与CD交点的坐标为．···················································· 2分

（2）

当0＜＜时，△MPH与矩形AOCD重合部分的面积即△MPH的面积．

过点M作，垂足为N．

由△AMN∽△ABO，得．

∴．∴．········································································ 4分

∴△MPH的面积为．

当时，．············································································· 5分

当＜≤3时，设MH与CD相交于点E，△MPH与矩形AOCD重合部分的面积即

△PEH的面积．

过点M作于G，交HP的延长线于点F．

．

．

由△HPE∽△HFM，得．

∴．∴．································································ 8分

∴△PEH的面积为．

当时，．

综上所述，若△MPH与矩形AOCD重合部分的面积为1，为1或．·················· 9分

（3）有最小值．

连接PB，CH，则四边形PHCB是平行四边形．

∴．      ∴．

当点C，H，Q在同一直线上时，的值最小．···································· 11分

∵点C，Q的坐标分别为，，     ∴直线CQ的解析式为，

∴点H的坐标为．     因此点P的坐标为．······························ 12分

【解析】略