Question

已知顶点为A(1,5)的抛物线经过点B(5,1).

(1)求抛物线的解析式;

(2)如图（1）,设C,D分别是轴、轴上的两个动点，求四边形ABCD周长的最小值；

（3）在（2）中，当四边形ABCD的周长最小时，作直线CD.设点P()()是直线上的一个动点，Q是OP的中点，以PQ为斜边按图（2）所示构造等腰直角三角形PRQ.

①当△PBR与直线CD有公共点时,求的取值范围；

②在①的条件下，记△PBR与△COD的公共部分的面积为S.求S关于的函数关系式，并求S的最大值。

Answer

【解析】
（1）∵抛物线的顶点为A（1，5），

∴设抛物线的解析式为，

将点B（5，1）代入，得，

解得，

∴

（2）作A关于y轴的对称点，作B关于x轴的对称点，显然，

如图(5.1)，连结分别交x轴、y轴于C、D两点，

∵，

∴此时四边形ABCD的周长最小，最小值就是。

而，

∴

四边形ABCD周长的的最小值为。

（3）①点B关于x轴的对称点B′（），点A关于y轴的对称点A′（﹣1，5），连接A′B′，与x轴，y轴交于C，D点，

∴CD的解析式为：，

联立，

得：

∵点P在上，点Q是OP的中点，

∴要使等腰直角三角形与直线CD有公共点，则．

故的取值范围是：．

②如图：

点E（2，2），当EP=EQ时，，得：，

当时，

当时，．

当时，

当时，．

故的最大值为：．

【解析】略