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安徽省巢湖市2017届高三最后一次模拟考试数学(理)试卷
一、填空题
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1. 难度:简单

已知集合 ,则(   )

A.     B.     C.     D.

 

二、选择题
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2. 难度:简单

已知为虚数单位,若复数在复平面内对应的点在第四象限,则的取值范围为(   )

A.     B.     C.     D.

 

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3. 难度:简单

下列函数中,既是偶函数,又在内单调递增的为(    )

A.     B.     C.     D.

 

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4. 难度:简单

已知双曲线 与双曲线 ,给出下列说法,其中错误的是(    )

A. 它们的焦距相等    B. 它们的焦点在同一个圆上

C. 它们的渐近线方程相同    D. 它们的离心率相等

 

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5. 难度:简单

在等比数列中,“ 是方程的两根”是“”的(    )

A. 充分不必要条件    B. 必要不充分条件

C. 充要条件    D. 既不充分也不必要条件

 

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6. 难度:简单

执行如图所示的程序框图,则输出的值为(    )

A. 1009    B. -1009    C. -1007    D. 1008

 

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7. 难度:简单

已知一几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为(    )

A.     B.     C.     D.

 

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8. 难度:中等

已知函数的部分图像如图所示,则函数图像的一个对称中心可能为(   )

A.     B.     C.     D.

 

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9. 难度:简单

《几何原本》卷2的几何代数法(以几何方法研究代数问题)成了后世西方数学家处理问题的重要依据,通过这一原理,很多的代数的公理或定理都能够通过图形实现证明,也称之为无字证明.现有如图所示图形,点在半圆上,点在直径上,且,设 ,则该图形可以完成的无字证明为(    )

A.     B.

C.     D.

 

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10. 难度:中等

为迎接中国共产党的十九大的到来,某校举办了“祖国,你好”的诗歌朗诵比赛.该校高三年级准备从包括甲、乙、丙在内的7名学生中选派4名学生参加,要求甲、乙、丙这3名同学中至少有1人参加,且当这3名同学都参加时,甲和乙的朗诵顺序不能相邻,那么选派的4名学生不同的朗诵顺序的种数为(    )

A. 720    B. 768    C. 810    D. 816

 

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11. 难度:困难

焦点为的抛物线 的准线与轴交于点,点在抛物线上,则当取得最大值时,直线的方程为(    )

A.     B.

C.     D.

 

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12. 难度:困难

已知定义在上的函数满足,且当时,

,对,使得,则实数的取值范围为(   )

A.     B.

C.     D.

 

三、填空题
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13. 难度:简单

已知 ,若向量共线,则方向上的投影为_________

 

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14. 难度:中等

已知实数 满足不等式组的最大值为,则=__________

 

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15. 难度:中等

中,角 的对边分别为 ,且 的面积为,则的值为__________

 

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16. 难度:压轴

已知球是正三棱锥(底面为正三角形,顶点在底面的射影为底面中心)的外接球, ,点在线段上,且,过点作圆的截面,则所得截面圆面积的取值范围是__________.

 

四、解答题
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17. 难度:简单

已知的展开式中的系数恰好是数列的前项和.

(1)求数列的通项公式;

(2)数列满足,记数列的前项和为,求证: .

 

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18. 难度:中等

如图,点在以为直径的圆上,垂直与圆所在平面,的垂心.

(1)求证:平面平面

(2)若,求二面角的余弦值.

 

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19. 难度:中等

2017年春节期间,某服装超市举办了一次有奖促销活动,消费每超过600元(含600元),均可抽奖一次,抽奖方案有两种,顾客只能选择其中的一种.

方案一:从装有10个形状、大小完全相同的小球(其中红球3个,黑球7个)的抽奖盒中,一次性摸出3个球,其中奖规则为:若摸到3个红球,享受免单优惠;若摸出2个红球则打6折,若摸出1个红球,则打7折;若没摸出红球,则不打折.

方案二:从装有10个形状、大小完全相同的小球(其中红球3个,黑球7个)的抽奖盒中,有放回每次摸取1球,连摸3次,每摸到1次红球,立减200元.

(1)若两个顾客均分别消费了600元,且均选择抽奖方案一,试求两位顾客均享受免单优惠的概率;

(2)若某顾客消费恰好满1000元,试从概率的角度比较该顾客选择哪一种抽奖方案更合算?

 

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20. 难度:压轴

已知椭圆 的长轴长为6,且椭圆与圆 的公共弦长为.

(1)求椭圆的方程.

(2)过点作斜率为的直线与椭圆交于两点 ,试判断在轴上是否存在点,使得为以为底边的等腰三角形.若存在,求出点的横坐标的取值范围,若不存在,请说明理由.

 

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21. 难度:压轴

已知函数.

(1)讨论函数的单调性;

(2)当时,若函数的导函数的图象与轴交于 两点,其横坐标分别为 ,线段的中点的横坐标为,且 恰为函数的零点,求证: .

 

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22. 难度:中等

选修4-4:坐标系与参数方程

已知直线的参数方程为为参数),以坐标原点为极点, 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系,圆的极坐标方程为,直线与圆交于 两点.

(1)求圆的直角坐标方程及弦的长;

(2)动点在圆上(不与 重合),试求的面积的最大值.

 

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23. 难度:中等

选修4-5:不等式选讲

已知函数.

(1)求函数的值域

(2)若,试比较 的大小.

 

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