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甘肃省2017届高三4月月考数学(理)试卷
一、选择题
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1. 难度:简单

若复数满足,则复数所对应的点位于(    )

A. 第一象限    B. 第二象限    C. 第三象限    D. 第四象限

 

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2. 难度:中等

集合,则等于(    )

A.     B.     C.     D.

 

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3. 难度:中等

下列叙述中正确的是(  

A.若,则“”的充分条件是“

B.若,则“”的充要条件是“

C.命题“对任意,有”的否定是“存在,有

D.是一条直线,是两个平面,若,则

 

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4. 难度:中等

一个样本容量为10的样本数据,它们组成一个公差不为0的等差数列,若,且 成等比数列,则此样本的平均数和中位数分别是 (    )

A. 13,12    B. 13,13    C. 12,13    D. 13,14

 

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5. 难度:简单

如图所示是一个几何体的三视图,则该几何体的体积为(   )

A                B 

C                D

 

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6. 难度:困难

函数,则满足的实数的取值范围是(    )

A.     B.     C.     D.

 

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7. 难度:中等

某公司将5名员工分配至3个不同的部门,每个部门至少分配一名员工,其中甲、乙两名员工必须分配在同一个部门的不同分配方法数为(    )

A. 24    B. 30    C. 36    D. 42

 

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8. 难度:简单

执行如图所示的程序框图,若输入的值为,则输出的值为(    )

A. 6    B. 7    C. 8    D. 9

 

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9. 难度:中等

设实数 满足不等式组,若 为整数,则的最小值为(    )

A. 14    B. 16    C. 17    D. 19

 

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10. 难度:中等

已知三角形的三边长构成公差为2的等差数列,且最大角的正弦值为,则这个三角形的周长为(    )

A. 15    B. 18    C. 21    D. 24

 

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11. 难度:简单

为中心, 为两个焦点的椭圆上存在一点,满足,则该椭圆的离心率为(    )

A.     B.     C.     D.

 

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12. 难度:困难

设函数,若关于的方程有四个不同的解,且,则的取值范围是(    )

A.     B.     C.     D.

 

二、填空题
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13. 难度:中等

表面积为的球面上有四点是等边三角形,球心到平面的距离为,若平面平面,则棱锥体积的最大值为__________

 

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14. 难度:简单

若直线垂直,则二项式的展开式中的系数为__________

 

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15. 难度:困难

为正实数,满足,则的最小值是__________

 

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16. 难度:中等

若数列是正项数列,且,则________.

 

三、解答题
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17. 难度:中等

已知函数.

(1)求函数的单调递增区间;

(2)在中,内角的对边为,已知

的面积.

 

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18. 难度:中等

在三棱柱中,侧面为矩形,的中点,交于点侧面.

(1)证明:

(2)若,求直线与平面所成角的正弦值.

 

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19. 难度:中等

对某校高一年级学生参加社区服务次数进行统计,随机抽取名学生作为样本,得到这名学生参加社区服务的次数.根据此数据作出了频数与频率的统计表和频率分布直方图如下:

分组

频数

频率

10

0.25

25

2

0.05

合计

1

 

(1)求出表中及图中的值;

(2)试估计他们参加社区服务的平均次数;

(3)在所取样本中,从参加社区服务的次数不少于20次的学生中任选2人,求至少1人参加社区服务次数在区间内的概率.

 

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20. 难度:中等

定义:若两个椭圆的离心率相等,则称两个椭圆是“相似”的,如图,椭圆与椭圆是相似的两个椭圆,并且相交于上下两个顶点,椭圆的长轴长是4,椭圆,短轴长是1,点分别是椭圆的左焦点与右焦点.

(1)求椭圆的方程;

(2)过的直线交椭圆于点,求面积的最大值.

 

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21. 难度:困难

已知函数为常数).

(1)讨论函数的单调性;

(2)若对任意的,都存在使得不等式成立,求实数的取值范围.

 

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22. 难度:中等

在直角坐标系中,直线的方程为,曲线的参数方程为为参数).

(1)已知在极坐标系(与直角坐标系取相同的长度单位,且以原点为极点,以轴正半轴为极轴)中,点的极坐标,判断点与直线的位置关系;

(2)设点为曲线上的一个动点,求它到直线的距离的最小值.

 

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23. 难度:中等

已知函数.

(1)当时,求不等式的解集;

(2)若,且当时,不等式有解,求实数的取值范围.

 

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