2015-2016学年福建省高二下期初考试理科数学试卷（解析版）

一、选择题

1. 难度：简单

已知命题已知命题 ，，那么下列结论正确的是（      ）

A．命题     B．命题

C．命题    D．命题

2. 难度：简单

计算的结果为（      ）

A．1             B．               C．          D．

3. 难度：中等

方程的两个根可分别作为（      ）

A．一椭圆和一双曲线的离心率          B．两抛物线的离心率

C．一椭圆和一抛物线的离心率          D．两椭圆的离心率

4. 难度：简单

曲线在点处的切线方程为（        ）

A．     B．      C．     D．

5. 难度：中等

如图，在正方体，若，则的值为  （     ）

A．3            B．1           C．－1          D．－3

6. 难度：简单

已知双曲线的一条渐近线方程为，则双曲线的离心率为（       ）

A．        B．       C．2        D．

7. 难度：简单

如果复数为纯虚数，那么实数的值为（       ）.

A．－2          B．1            C．2    D．1或 －2 

8. 难度：中等

已知空间四面体的每条边都等于1，点分别是的中点，则等于   （        ）

A．         B．        C．         D．

9. 难度：中等

抛物线上的点到直线距离的最小值是（    ）

A．        B．        C．          D．

10. 难度：中等

从1开始的自然数按如图所示的规则排列，现有一个三角形框架在图中上下或左右移动，使每次恰有九个数在此三角形内，则这九个数的和可以为（    ）

A.2097    B.1553   C.1517    D.2111

11. 难度：困难

给出定义：若函数在上可导，即存在，且导函数在上也可导，则称在上存在二阶导函数，记，若在上恒成立，则称在上为凸函数．以下四个函数在上不是凸函数的是（         ）

A．   B．

C．    D．

12. 难度：简单

椭圆满足这样的光学性质：从椭圆的一个焦点发射的光线，经椭圆反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点．现有一个水平放置的椭圆形台球盘，满足方程，点是它的两个焦点．当静止的小球从点开始出发，沿直线运动，经椭圆壁反射后再回到点时，此时小球经过的路程可能是   （     ） 

A．32或4或        B．或28或

C．28或4或       D．32或28或4

二、填空题

13. 难度：简单

当时，函数取到极大值，则等于          

14. 难度：简单

双曲线的虚轴长是实轴长的2倍，则                    

15. 难度：简单

已知=         

16. 难度：简单

设（其中），且当或时，方程只有一个实根；当时，方程有三个相异实根．现给出下列四个命题：

①的任一实根大于的任一实根．

②的任一实根大于的任一实根．

③和有一个相同的实根． 

④和有一个相同的实根．

其中正确的命题有                   ．（请写出所有正确命题的序号）

三、解答题

17. 难度：简单

已知椭圆的焦点为，且过点．

（Ⅰ）求椭圆的标准方程；

（Ⅱ）设直线交椭圆于两点，求线段的中点坐标．

18. 难度：简单

如图，长方体中，，，是中点， 是中点．

（Ⅰ）求证：；

（Ⅱ）求证：平面⊥平面．

19. 难度：简单

已知函数．

（Ⅰ）求函数的图象在点处的切线的方程；

（Ⅱ）求函数区间上的最值．

20. 难度：中等

四棱锥中，侧棱，底面是直角梯形，，且，是的中点．

（Ⅰ）求异面直线与所成的角；

（Ⅱ）线段上是否存在一点，使得？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．

21. 难度：简单

已知直线过抛物线的焦点且与抛物线相交于两点，自向准线作垂线，垂足分别为 ．

（Ⅰ）求抛物线的方程；

（Ⅱ）证明：无论取何实数时，，都是定值；

（Ⅲ）记的面积分别为，试判断是否成立，并证明你的结论．

22. 难度：中等

已知函数．

（Ⅰ）当时，求函数的单调区间；

（Ⅱ）若函数在区间上无极值，求的取值范围；

（Ⅲ）已知且，求证：．