2012-2013学年黑龙江省哈尔滨六中高三（上）期中数学试卷（文科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

已知命p：∃x∈R，使得x+，命题q：∀x∈R，x²+x+1＞0，下列结论正确的是（ ）
A．命题“p∧q”是真命题
B．命题“（￢p）∧q”是真命题
C．命题“p∧（￢q）”是真命题
D．命题“（￢p）∧（￢q）”是真命题

2. 难度：中等

对于向量、、和实数λ，下列命题中真命题是（ ）
A．若|+|=|-|，则||=||
B．若²= ²，则= 或=-
C．若•=•，则=
D．若λ=0，则λ=0或=0

3. 难度：中等

不等式的解集记为p，关于x的不等式x²+（a-1）x-a＞0的解集记为q，已知p是q的充分不必要条件，则实数a的取值范围是（ ）
A．[-2，-1]
B．（-2，-1〕
C．ϕ
D．[-2，+∞）

4. 难度：中等

已知{a_n}是等差数列，a₁₀=10，其前10项和S₁₀=70，则其公差d=（ ）
A．
B．
C．
D．

5. 难度：中等

已知向量=（1，2），=（x，-4），若∥，则•等于（ ）
A．-10
B．-6
C．0
D．6

6. 难度：中等

已知等比数列{a_n}的公比为正数，且a₃a₉=2，a₂=2，则a₁=（ ）
A．
B．
C．
D．2

7. 难度：中等

函数f（x）=sin（ωx+ϕ）（其中）的图象如图所示，为了得到y=sinωx的图象，只需把y=f（x）的图象上所有点（ ）

A．向右平移个单位长度
B．向右平移个单位长度
C．向左平移个单位长度
D．向左平移个单位长度

8. 难度：中等

设数列{a_n}是以2为首项，1为公差的等差数列，{b_n}是以1为首项，2为公比的等比数列，则=（ ）
A．1033
B．1034
C．2057
D．2058

9. 难度：中等

若函数y=f（x）+sinx在区间内单调递增，则f（x）可以是（ ）
A．sin（π-x）
B．cos（π-x）
C．
D．

10. 难度：中等

若函数在[1，+∞）上大于1恒成立，则a的取值范围是（ ）
A．
B．
C．（3，+∞）
D．[3，+∞）

11. 难度：中等

已知，则sin（）的值（ ）
A．随k的增大而增大
B．有时随k的增大而增大，有时随k的增大而减小
C．随k的增大而减小
D．是一个与k无关的常数

12. 难度：中等

对函数f（x）=x•sinx，现有下列命题：
①函数f（x）是偶函数；
②函数f（x）的最小正周期是2π；
③点（π，0）是函数f（x）的图象的一个对称中心；
④函数f（x）在区间上单调递增，在区间上单调递减．其中是真命题的是（ ）
A．①④
B．②④
C．②③
D．①③

二、填空题

13. 难度：中等

若，则z=    ．

14. 难度：中等

已知x，y满足，则z=2x+y的最小值为    ．

15. 难度：中等

已知，则的最小值为    ．

16. 难度：中等

函数的零点个数为    个．

三、解答题

17. 难度：中等

选修4-5：不等式选讲
已知函数f（x）=|x+1|+|x-2|-m
（I）当m=5时，求f（x）＞0的解集；
（II）若关于x的不等式f（x）≥2的解集是R，求m的取值范围．

18. 难度：中等

已知△ABC中，A，B，C的对边分别为a，b，c，且，b=1
（1）若，求边c的大小；
（2）若a=2c，求△ABC的面积．

19. 难度：中等

在等比数列{a_n}中，a_n＞0，（n∈N^*），公比q∈（0，1），且a₁a₅+2a₃a₅+a₂a₈=25，a₃与a₅的等比中项为2．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设b_n=log₂a_n，数列{b_n}的前n项和为S_n，当最大时，求n的值．

20. 难度：中等

已知函数
（1）求函数f（x）的值域和最小正周期；
（2）当x∈[0，2π]时，求使成立的x的值．

21. 难度：中等

已知数列{a_n}的前n项和为S_n，a₁=3且a_n+1=2S_n+3，数列{b_n}为等差数列，且公差d＞0，b₁+b₂+b₃=15；
（1）求数列{a_n}的通项公式；  
（2）若成等比数列，求数列{b_n}的前项和T_n．

22. 难度：中等

设函数f（x）=x²-a．
（Ⅰ）求函数g（x）=xf（x）在区间[0，1]上的最小值；
（Ⅱ）当a＞0时，记曲线y=f（x）在点P（x₁，f（x₁））（）处的切线为l，l与x轴交于点A（x₂，0），求证：．