2012-2013学年黑龙江省哈师大附中高三（上）第三次月考数学试卷（文科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

已知全集U=R，集合A={x|lgx≤0}，B={x|2^x≤1}，则∁_U（A∪B）=（ ）
A．（-∞，1）
B．（1，+∞）
C．（-∞，1]
D．[1，+∞）

2. 难度：中等

cos600°=（ ）
A．
B．
C．
D．

3. 难度：中等

已知，则tanφ=（ ）
A．
B．
C．
D．

4. 难度：中等

设，则（ ）
A．a＜b＜c
B．a＜c＜b
C．b＜c＜a
D．b＜a＜c

5. 难度：中等

等差数列{a_n}中，a₃=-1，a₁+a₄+a₇=9，则S₇-S₅=（ ）
A．16
B．21
C．26
D．31

6. 难度：中等

若数列{a_n}满足a₁=2，a_n+1a_n=a_n-1，则a₂₀₁₃的值为（ ）
A．2
B．
C．-1
D．1

7. 难度：中等

已知a是函数的零点，若0＜x＜a，则f（x）的值满足（ ）
A．f（x）=0
B．f（x）＞0
C．f（x）＜0
D．f（x）的符号不确定

8. 难度：中等

在△ABC中，，则△ABC一定是（ ）
A．等腰三角形
B．直角三角形
C．等腰直角三角形
D．等腰三角形或直角三角形

9. 难度：中等

已知x＞0，y＞0，x，a，b，y成等差数列，x，c，d，y成等比数列，则的最小值是（ ）
A．0
B．1
C．2
D．4

10. 难度：中等

函数y=cos（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜π）为奇函数，该函数的部分图象如图所表示，A、B分别为最高点与最低点，并且两点间的距离为，则该函数的一条对称轴为（ ）

A．
B．
C．x=1
D．x=2

11. 难度：中等

在△ABC中，是角A、B、C成等差数列的（ ）
A．充分非必要条件
B．充要条件
C．充分不必要条件
D．必要不充分条件

12. 难度：中等

已知函数f（x）=xⁿ⁺¹（n∈N^*）的图象与直线x=1交于点P，若图象在点P处的切线与x轴交点的横坐标为x_n，则log₂₀₁₃x₁+log₂₀₁₃x₂+…+log₂₀₁₃x₂₀₁₂的值为（ ）
A．1-log₂₀₁₃2012
B．-1
C．-log₂₀₁₃2012
D．1

二、填空题

13. 难度：中等

已知sin（-x）=，则sin2x的值为     ．

14. 难度：中等

设α∈（，），β∈（0，），cos（α-）=，sin（+β）=，则sin （α+β）=    ．

15. 难度：中等

若函数f（x）=2x²-lnx在其定义域内的一个子区间（k-1，k+1）内不是单调函数，则实数k的取值范围是    ．

16. 难度：中等

给出下列命题：
①函数是偶函数；
②函数在闭区间上是增函数；
③直线是函数图象的一条对称轴；
④将函数的图象向左平移单位，得到函数y=cos2x的图象；
其中正确的命题的序号是：    ．

三、解答题

17. 难度：中等

各项均为正数的等比数列{a_n}中，a₁=1，a₂+a₃=6．
（1）求数列{a_n}通项公式；
（2）若等差数列{b_n}满足b₁=a₂，b₄=a₄，求数列{a_nb_n}的前n项和S_n．

18. 难度：中等

已知向量：=（cosωx-sinωx，2sinωx），（其中ω＞0），函数f（x）=，若f（x）相邻两对称轴间的距离为．
（1）求ω的值，并求f（x）的最大值及相应x的集合；
（2）在△ABC中，a，b，c分别是A，B，C所对的边，△ABC的面积S=5，b=4，f（A）=1，求边a的长．

19. 难度：中等

数列{a_n}前n项和为S_n，a₁=4，a_n+1=2S_n-2n+4．
（1）求证：数列{a_n-1}为等比数列；
（2）设，数列{b_n}前n项和为T_n，求证：8T_n＜1．

20. 难度：中等

抛物线y²=2px（p＞0）上任一点Q到其内一点P（3，1）及焦点F的距离之和的最小值为4．
（1）求抛物线的方程；
（2）设动直线y=kx+b与抛物线交于A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）两点，且|y₁-y₂|的值为定值a（a＞0），过弦AB的中点M作平行于抛物线的轴的直线交抛物线于点D，求△ABD的面积．

21. 难度：中等

已知函数f（x）=lnx-px+1（p∈R）．
（1）p=1时，求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；
（2）求函数f（x）的极值；
（3）若对任意的x＞0，恒有f（x）≤p²x²，求实数p的取值范围．

22. 难度：中等

如图所示，已知D为△ABC的BC边上一点，⊙O₁经过点B，D，交AB于另一点E，⊙O₂经过点C，D，交
AC于另一点F，⊙O₁与⊙O₂交于点G．
（1）求证：∠EAG=∠EFG；
（2）若⊙O₂的半径为5，圆心O₂到直线AC的距离为3，AC=10，AG切⊙O₂于G，求线段AG的长．

23. 难度：中等

选修4-4：坐标系与参数方程
极坐标系中，已知圆心，半径r=1
（1）求圆的极坐标方程；
（2）若直线与圆交于A，B两点，求AB的中点C与点P（-1，0）的距离．

24. 难度：中等

选修4-5：不等式选讲
设函数f（x）=|x-3|+|x-2|+k．
（1）若f（x）≥3恒成立，求k的取值范围；
（2）当k=1时，解不等式：f（x）＜3x．