2012-2013学年山东省聊城市某重点高中高二（上）期中数学试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

下列语句不是全称命题的是（ ）
A．任何一个实数乘以零都等于零
B．自然数都是正整数
C．高二（一）班绝大多数同学是团员
D．每一个向量都有大小

2. 难度：中等

下列是全称命题且是真命题的是（ ）
A．∀x∈R，x²＞0
B．∀x∈Q，x²∈Q
C．∃x∈Z，x²＞1
D．∀x，y∈R，x²+y²＞0

3. 难度：中等

设p、q是两个命题，则“复合命题p或q为真，p且q为假”的充要条件是（ ）
A．p、q中至少有一个为真
B．p、q中至少有一个为假
C．p、q中中有且只有一个为真
D．p为真，q为假

4. 难度：中等

下列四组函数中导数相等的是（ ）
A．f（x）=1与f（x）=
B．f（x）=sinx与f（x）=-cos
C．f（x）=1-cosx与f（x）=-sin
D．f（x）=1-2x²与f（x）=-2x²+3

5. 难度：中等

抛物线y=x²上一点到直线2x-y-4=0的距离最短的点的坐标是（ ）
A．（1，1）
B．（）
C．
D．（2，4）

6. 难度：中等

已知点F₁（-4，0）和F₂（4，0），曲线上的动点P到F₁、F₂的距离之差为6，则曲线方程为（ ）
A．-=1
B．-=1（y＞0）
C．-=1或 -=1
D．-=1
E．-=1（x＞0）

7. 难度：中等

若f′（x）=2，则等于（ ）
A．-1
B．-2
C．1
D．

8. 难度：中等

路灯距地平面为8m，一个身高为1.6m的人以84m/min的速率在地面上行走，从路灯在地平面上射影点C，沿某直线离开路灯，则人影长度的变化速率为（ ）m/s．

A．
B．
C．
D．21

9. 难度：中等

函数y=xlnx在区间（0，1）上是（ ）
A．单调增函数
B．单调减函数
C．在上是单调减函数，在上是单调增函数
D．在上是单调增函数，在上是单调减函数

10. 难度：中等

若椭圆的两焦点为（-2，0）和（2，0），且椭圆过点，则椭圆方程是（ ）
A．
B．
C．
D．

11. 难度：中等

下列说法中，正确的个数是（ ）
①存在一个实数，使-2x²+x-4=0；
②所有的质数都是奇数；
③斜率相等的两条直线都平行；
④至少存在一个正整数，能被5和7整除．
A．1
B．2
C．3
D．4

12. 难度：中等

下列命题的否定不正确的是（ ）
A．存在偶数2n是7的倍数
B．在平面内存在一个三角形的内角和大于180°
C．所有一元二次方程在区间[-1，1]内都有近似解
D．任意两个向量的和的模小于这两个向量的模

二、填空题

13. 难度：中等

命题“对任何x∈R，|x-2|+|x-4|＞3”的否定是    ．

14. 难度：中等

命题“存在实数x，y，使得x+y＞1”，用符号表示为    ；此命题的否定是    （用符号表示），是    命题（填“真”或“假”）．

15. 难度：中等

给出下列4个命题：
①；
②矩形都不是梯形；
③∃x，y∈R，x²+y²≤1；
④任意互相垂直的两条直线的斜率之积等于-1．其中全称命题是    ．

16. 难度：中等

已知圆C：（x+1）²+y²=25及点A（1，0），Q为圆上一点，AQ的垂直平分线交CQ于M，则点M的轨迹方程为    ．

三、解答题

17. 难度：中等

给出两个命题：
命题甲：关于x的不等式x²+（a-1）x+a²≤0的解集为∅，
命题乙：函数y=（2a²-a）^x为增函数．
分别求出符合下列条件的实数a的范围．
（1）甲、乙至少有一个是真命题；
（2）甲、乙中有且只有一个是真命题．

18. 难度：中等

已知{a_n}是等差数列，d为公差且不为0，a₁和d均为实数，它的前n项和记作S_n，设集合A={（a_n，）|n∈N^*}，B={（x，y）x²-y²=1，x，y∈R}．试问下列结论是否正确，如果正确，请给予证明；如果不正确，请举例说明：
（1）若以集合A中的元素作为点的坐标，则这些点都在同一条直线上；
（2）A∩B至多有一个元素；
（3）当a₁≠0时，一定有A∩B≠∅．

19. 难度：中等

椭圆（a＞b＞0）与直线x+y=1交于P、Q两点，且OP⊥OQ，其中O为坐标原点．
（1）求的值；
（2）若椭圆的离心率e满足≤e≤，求椭圆长轴的取值范围．

20. 难度：中等

已知某厂生产x件产品的总成本为f（x）=25000+200x+（元）．
（1）要使生产x件产品的平均成本最低，应生产多少件产品？
（2）若产品以每件500元售出，要使利润最大，应生产多少件产品？

21. 难度：中等

A、B、C是我方三个炮兵阵地，A在B正东6 km，C在B正北偏西30°，相距4 km，P为敌炮阵地，某时刻A处发现敌炮阵地的某种信号，由于B、C两地比A距P地远，因此4 s后，B、C才同时发现这一信号，此信号的传播速度为1 km/s，A若炮击P地，求炮击的方位角．

22. 难度：中等

已知双曲线过点A（-2，4）、B（4，4），它的一个焦点是F₁（1，0），求它的另一个焦点F₂的轨迹方程．