2011-2012学年湖南省常德市芷兰实验学校高三（上）第一次月考数学试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

函数的值域为（ ）
A．
B．
C．（0，]
D．（0，2]

2. 难度：中等

下列命题是假命题的是（ ）
A．命题“若x≠1，则x²-3x+2≠0”的逆否命题是“若x²-3x+2=0，则x=1”
B．若命题p：∀x∈R，x²+x+1≠0，则^¬p：∃x∈R，x²+x+1=0
C．若p∨q为真命题，则p，q均为真命题
D．“x＞2”是“x²-3x+2＞0”的充分不必要条件

3. 难度：中等

函数在（0，1）上为减函数，则实数a的取值范围（ ）
A．
B．（1，2）
C．（1，2]
D．

4. 难度：中等

设a=0.6^4.2，b=0.7^4.2，c=0.6^5.1，则a，b，c大小关系正确的是（ ）
A．a＞b＞c
B．b＞a＞c
C．b＞c＞a
D．c＞b＞a

5. 难度：中等

函数f（x）=lnx+2x-5的零点个数为（ ）
A．1
B．2
C．0
D．3

6. 难度：中等

已知f（x）为定义在（-∞，+∞）上的可导函数，且f（x）＜f'（x）对于x∈R恒成立，且e为自然对数的底，则（ ）
A．f（1）＞e•f（0），f（2012）＞e²⁰¹²•f（0）
B．f（1）＜e•f（0），f（2012）＞e²⁰¹²•f（0）
C．f（1）＞e•f（0），f（2012）＜e²⁰¹²•f（0）
D．f（1）＜e•f（0），f（2012）＜e²⁰¹²•f（0）

7. 难度：中等

函数f（x）是（0，+∞）上的单调递增函数，当n∈N^*时，f（n）∈N^*，且f[f（n）]=3n，则f（1）的值等于（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4

8. 难度：中等

已知函数f（x）=，函数g（x）=αsin（）-2α+2（α＞0），若存在x₁，x₂∈[0，1]，使得f（x₁）=g（x₂）成立，则实数α的取值范围是（ ）
A．[]
B．（0，]
C．[]
D．[，1]

二、填空题

9. 难度：中等

已知p：，q：x²-2x+1-m²≤0 （m＞0），若¬p是¬q的充分不必要条件，则实数m的取值范围是    ．

10. 难度：中等

当x∈（1，2）时，不等式（x-1）²＜log_ax恒成立，则实数a的取值范围是    ．

11. 难度：中等

函数f（x）=（|x|-1）（x+a）为奇函数，则f（x）增区间为    ．

12. 难度：中等

函数则f（x）＞-1的解集为    ．

13. 难度：中等

已知偶函数f（x）的图象关于直线x=1对称，且x∈[3，4]时，f（x）=2x-1，则：x∈[14，15]时，函数f（x）的解析式为    ．

14. 难度：中等

若7|x+1|＜5-x与不等式ax²+bx-2＞0的解集相同，则a=    ，b=    ．

15. 难度：中等

设函数f （x）的定义域为D，如果对于任意的x₁∈D，存在唯一的x₂∈D，使成立，则称函数f （x）在D上均值为C，给出下列四个函数①y=x³，②y=4sinx，③y=lgx，④y=2^x，
则满足在其定义域上均值为2的函数是     ．

三、解答题

16. 难度：中等

已知函数f（x）在定义域（0，+∞）上为增函数，且满足f（xy）=f（x）+f（y），f（3）=1
（1）求f（9），f（27）的值
（2）解不等式f（x）+f（x-8）＜2．

17. 难度：中等

国营二三八厂打算在2010年举行促销活动，经调查测算，该产品的年销售量（即该厂的年产量）x万件与年促销费用t（t≥0）万元满足（k为常数），如果不搞促销活动，则该产品的年销售量只能是1万件，已知2010年生产该产品的固定投入为6万元，每生产1万件该产品需要再投入12万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品平均成本的1.5倍，（产品成本包括固定投入和再投入两部分）．
（1）将该厂家2010年该厂产品的利润y万元表示为年促销费用t万元的函数；
（2）该厂家2010年的促销费用投入多少万元时，厂家所获利润最大？

18. 难度：中等

已知函数f（x）=-x³+bx²-3a²x（a≠0）在x=a处取得极值，
（1）用x，a表示f（x）；
（2）设函数g（x）=2x³-3af′（x）-6a³如果g（x）在区间（0，1）上存在极小值，求实数a的取值范围

19. 难度：中等

已知函数为偶函数．
（Ⅰ） 求k的值；
（Ⅱ） 若方程有且只有一个实数解，求实数a的取值范围．

20. 难度：中等

已知a＞0，函数f（x）=lnx-ax²，x＞0．
（Ⅰ）求f（x）的单调区间；
（Ⅱ）若存在均属于区间[1，3]的α，β，且β-α≥1，使f（α）=f（β），证明．

21. 难度：中等

已知函数的图象为曲线C，函数的图象为直线l．
（Ⅰ） 设m＞0，当x∈（m，+∞）时，证明：
（Ⅱ） 设直线l与曲线C的交点的横坐标分别为x₁，x₂，且x₁≠x₂，求证：（x₁+x₂）g（x₁+x₂）＞2．