2011-2012学年湖南省长沙市周南中学高三（上）第一次月考数学试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

设全集U=M∪N=﹛1，2，3，4，5﹜，M∩C_uN=﹛2，4﹜，则N=（ ）
A．{1，2，3}
B．{1，3，5}
C．{1，4，5}
D．{2，3，4}

2. 难度：中等

下列函数中，既是偶函数，又是在区间（0，+∞）上单调递减的函数是（ ）
A．
B．y=x³
C．y=2^|x|
D．y=cos

3. 难度：中等

下列命题中，真命题是（ ）
A．
B．∀x∈（3，+∞），x²＞2x+1
C．∃x∈R，x²+x=-1
D．

4. 难度：中等

若，，且，则向量的夹角为（ ）
A．45°
B．60°
C．120°
D．135°

5. 难度：中等

在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若a²-b²=bc，sinC=2sinB，则∠A的值为（ ）
A．
B．
C．
D．

6. 难度：中等

f（x）是定义在（0，+∞）上的非负可导函数，且满足，对任意的正数a，b，若a＜b，则必有（ ）
A．af（a）≥bf（b）
B．af（b）≥bf（a）
C．af（b）≤bf（a）
D．af（a）≤bf（b）

7. 难度：中等

已知正项等比数列{a_n}，a₁=2，又b_n=log₂a_n，且{b_n}的前n项和为T_n，当且仅当n=7时T_n最大，则数列{a_n}的公比q的取值范围是（ ）
A．＜p＜
B．
C．q＜或q＞
D．q＞或q＜

8. 难度：中等

若函数y=f（x）（x∈R）满足f（x+2）=f（x），且x∈（-1，1]时，f（x）=1-x²．函数g（x）=|lg|x||，则函数h（x）=f（x）-g（x）在[-5，10]内的零点的个数为（ ）
A．10
B．14
C．15
D．16

二、填空题

9. 难度：中等

函数f（x）=的定义域为    ．

10. 难度：中等

=    ．

11. 难度：中等

当x，y∈R⁺时，不等式恒成立，则实数λ的最大值为    ．

12. 难度：中等

设m＞1，在约束条件 下，目标函数z=x+5y的最大值为4，则m的值为    ．

13. 难度：中等

如图，将两块直角三角板拼在一起，若，，则x=    ．

14. 难度：中等

已知函数f（x）=（x-1）ln（1-x），则
（1）f（x）＞0的解集为    ；
（2）f（x）的最大值为    ．

15. 难度：中等

设M=2^t+i_t-1×2^t-1+…+i₁×2+i，其中i_k=0或1（k=0，1，2，…，t-1，t∈N⁺），并记M=（1i_t-1i_t-2…i₁i）₂．对于给定的
x₁=（1i_t-1i_t-2…i₁i）₂，构造无穷数列{x_n}如下：x₂=（1ii_t-1i_t-2…i₂i₁）₂，x₃=（1i₁ii_t-1…i₃i₂），x₄=（1i₂i₁ii_t-1…i₃）₂…，
（1）若x₁=109，则x₃=     （用数字作答）；
（2）给定一个正整数m，若x₁=2^2m+2+2^2m+1+2^2m+1，则满足x_n=x₁（n∈N⁺且n≠1）的n的最小值为    ．

三、解答题

16. 难度：中等

已知，p={x|x²-8x-20≤0}，S={x||x-1|≤m}
（1）若p∪S⊆p，求实数m的取值范围；
（2）是否存在实数m，使“x∈p”是“x∈S”的充要条件，若存在，求出m的取值范围；若不存在，请说明理由．

17. 难度：中等

已知几何体A-BCED 的三视图如图所示，其中侧视图和俯视图都是腰长为4的等腰直角三角形，正视图为直角梯形．求：
（1）异面直线DE 与AB 所成角的余弦值；
（2）二面角A-ED-B 的正弦值；
（3）此几何体的体积V 的大小．

18. 难度：中等

在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足csinA=acosC．
（1）求角C的大小；
（2）求sinA-cos（B+）的最大值，并求取得最大值时角A、B的大小．

19. 难度：中等

已知数列{a_n}的前n项和为S_n，数列{b_n}的前n项和为T_n，{b_n}为等差数列且各项均为正数，
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）若a₁+b₁，a₂+b₂，a₃+b₃成等比数列，求．

20. 难度：中等

某化妆品生产企业为了占有更多的市场份额，拟在2010年世博会期间进行一系列促销活动，经过市场调查和测算，化妆品的年销量x万件与年促销费t万元之间满足3-x与t+1成反比例，如果不搞促销活动，化妆品的年销量只能是1万件，已知2010年生产化妆品的设备折旧、维修等固定费用为3万元，每生产1万件化妆品需要再投入32万元的生产费用，若将每件化妆品的售价定为：其生产成本的150%与平均每件促销费的一半之和，则当年生产的化妆品正好能销完．
（1）将2010年利润y（万元）表示为促销费t（万元）的函数；
（2）该企业2010年的促销费投入多少万元时，企业的年利润最大？
（注：利润=销售收入-生产成本-促销费，生产成本=固定费用+生产费用）

21. 难度：中等

已知函数f（x）=e^x-ax（e为自然对数的底数）
（1）若f（x）≥1在x∈R上恒成立，求实数a的值；
（2）若n∈N^*，证明：