2010-2011学年北京市东城区高二（下）期末数学试卷（文科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

已知复数z₁=1+2i，z₂=1-i，那么z=z₁+z₂在复平面上对应的点位于（ ）
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限

2. 难度：中等

已知全集U=R，集合A={x|-2≤x≤3}，B={x|x＜-1或x＞4}，那么集合A∩（∁_UB）等于（ ）
A．{x|-2≤x≤4}
B．{x|x≤3或x≥4}
C．{x|-2≤x＜-1}
D．{x|-1≤x≤3}

3. 难度：中等

读下面的程序框图，输出结果是（ ）

A．1
B．3
C．4
D．5

4. 难度：中等

若，则（ ）
A．0＜x₂＜x₁
B．x₁＜x₂＜1
C．x₂＜x₁＜0
D．x₁＜x₂＜0

5. 难度：中等

用反证法证明：若整系数一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）有有理数根，那么b、c中至少有一个偶数时，下列假设正确的是（ ）
A．假设a、b、c都是偶数
B．假设a、b、c都不是偶数
C．假设a、b、c至多有一个偶数
D．假设a、b、c至多有两个偶数

6. 难度：中等

下列函数中在区间（0，+∞）上单调递增的是（ ）
A．y=sin
B．y=-x²
C．y=e^-x
D．y=x³

7. 难度：中等

若x是方程lgx+x=5的解，则x属于区间（ ）
A．（1，2）
B．（2，3）
C．（3，4）
D．（4，5）

8. 难度：中等

以下四图，都是同一坐标系中三次函数及其导函数的图象，其中一定不正确的序号是（ ）

A．③④
B．①②
C．②③
D．②④

9. 难度：中等

已知，那么函数y=tanx的周期为π．类比可推出：已知x∈R且，那么函数y=f（x）的周期是（ ）
A．π
B．2π
C．4π
D．5π

二、填空题

10. 难度：中等

函数的定义域为    ．

11. 难度：中等

已知m∈R，复数为纯虚数，那么实数m的值是    （只填写数字即可）．

12. 难度：中等

设定义在R上的函数f（x）满足f（x）•f（x+2）=13，若f（1）=2，则f（99）=    ．

13. 难度：中等

有下列四个命题：
（1）“若X+Y=0，则X，Y互为相反数”的逆命题；
（2）“全等三角形的面积相等”的否命题．
（3）“若q≤1，则x²+2x+q=0有实根”的逆否命题；
（4）“不等边的三角形的三个内角相等”的逆命题．
其中真命题的是    ．

14. 难度：中等

已知整数按如下规律排成一列：（1，1），（1，2），（2，1），（1，3），（2，2），（3，1），（1，4），（2，3），（3，2），（4，1），…，则第30个数对是    ．

15. 难度：中等

已知函数f（x）=lnx，若直线l与y=f（x）的图象相切的切点的横坐标为1，那么直线l的方程为    ．

三、解答题

16. 难度：中等

已知函数．
（Ⅰ）求函数f（x）的导数f′（x）；
（Ⅱ）求函数f（x）的极值．

17. 难度：中等

设x₁，x₂是关于x的一元二次方程x²-2（m-1）x+m+1=0的两个实根，又．
（Ⅰ）求m的取值范围；
（Ⅱ）求y=f（m）的解析式及最小值．

18. 难度：中等

已知是定义在R上的奇函数，
（Ⅰ）求a的值；
（Ⅱ）若，求x的值．

19. 难度：中等

已知sinθ，sinx，cosθ成等差数列，sinθ，siny，cosθ成等比数列．证明：2cos2x=cos2y．

20. 难度：中等

已知，且f（2）=1．
（Ⅰ）求a的值；
（Ⅱ）若在数列{a_n}中，a₁=1，，计算a₂，a₃，a₄，并由此猜想通项公式a_n；
（Ⅲ）证明（Ⅱ）中的猜想．