2011-2012学年湖北省黄冈市黄州中学高二（上）月考数学试卷（立体几何）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

线段AB在平面α内，则直线AB与平面α的位置关系是（ ）
A．AB⊂α
B．AB⊄α
C．由线段AB的长短而定
D．以上都不对

2. 难度：中等

下列说法正确的是（ ）
A．三点确定一个平面
B．四边形一定是平面图形
C．梯形一定是平面图形
D．平面α和平面β有不同在一条直线上的三个交点

3. 难度：中等

垂直于同一条直线的两条直线一定（ ）
A．平行
B．相交
C．异面
D．以上都有可能

4. 难度：中等

在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，下列几种说法正确的是（ ）
A．A₁C₁⊥AD
B．D₁C₁⊥AB
C．AC₁与DC成45°角
D．A₁C₁与B₁C成60°角

5. 难度：中等

若直线l∥平面α，直线a⊂α，则l与a的位置关系是（ ）
A．l∥a
B．l与a异面
C．l与a相交
D．l与a平行或异面

6. 难度：中等

下列命题中：
（1）平行于同一直线的两个平面平行；
（2）平行于同一平面的两个平面平行；
（3）垂直于同一直线的两直线平行；
（4）垂直于同一平面的两直线平行．
其中正确的个数有（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4

7. 难度：中等

a，b，c表示直线，M表示平面，给出下列四个命题：
①若a∥M，b∥M，则a∥b；
②若b⊂M，a∥b，则a∥M；
③若a⊥c，b⊥c，则a∥b；
④若a⊥M，b⊥M，则a∥b．
其中正确命题的个数有（ ）
A．0个
B．1个
C．2个
D．3个

8. 难度：中等

已知二面角α-AB-β的平面角是锐角θ，α内一点C到β的距离为3，点C到棱AB的距离为4，那么tgθ的值等于（ ）
A．
B．
C．
D．

9. 难度：中等

在空间中，下列命题中正确的是（ ）
A．若两直线a，b与直线l所成的角相等，那么a∥b
B．若两直线a，b与平面α所成的角相等，那么a∥b
C．如果直线l与两平面α，β所成的角都是直角，那么α∥β
D．若平面γ与两平面α，β所成的二面角都是直二面角，那么α∥β

10. 难度：中等

在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，点P在侧面BCC₁B₁及其边界上运动，并且保持AP⊥BD₁，则动点P的轨迹为（ ）
A．线段B₁C
B．线段BC₁
C．BB₁的中点与CC₁的中点连成的线段
D．BC的中点与B₁C₁的中点连成的线段

二、填空题

11. 难度：中等

直线AB、AD⊂α，直线CB、CD⊂β，点E∈AB，点F∈BC，点G∈CD，点H∈DA，若直线EH∩直线FG=M，则点M在    上．

12. 难度：中等

设棱长为1的正方体ABCD-A′B′C′D′中，M为AA′的中点，则直线CM和D′D所成的角的余弦值为    ．

13. 难度：中等

已知△ABC中，A∈α，BC∥α，BC=6，∠BAC=90°，AB、AC与平面α分别成30°、45°的角．则BC到平面α的距离为    ．

14. 难度：中等

Rt△ABC的斜边在平面α内，直角顶点C是α外一点，AC、BC与α所成角分别为30°和45°．则平面ABC与α所成锐角为    ．

15. 难度：中等

已知A（2，5，-6），点P在y轴上，PA=7，则点P的坐标为    ．

16. 难度：中等

已知球面（x-1）²+（y+2）²+（z-3）²=9与点A（-3，2，5），则球面上的点与点A的距离的最大值和最小值分别为    ．

三、解答题

17. 难度：中等

已知平面α∥β，直线AB⊄β，且直线AB∥α，求证：AB∥β．

18. 难度：中等

已知正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁，O是底ABCD对角线的交点．求证：
（1）C₁O∥面AB₁D₁；
（2）A₁C⊥面AB₁D₁．

19. 难度：中等

如图，已知矩形ABCD所在平面外一点P，PA⊥平面ABCD，E、F分别是AB，PC的中点．
（1）求证：EF∥平面PAD；
（2）求证：EF⊥CD；
（3）若∠PDA=45°，求EF与平面ABCD所成的角的大小．

20. 难度：中等

如图，斜三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，A₁C₁⊥BC₁，AB⊥AC，AB=3，AC=2，侧棱与底面成60°角．
（1）求证：AC⊥面ABC₁；
（2）求证：C₁点在平面ABC上的射影H在直线AB上；
（3）求此三棱柱体积的最小值．

21. 难度：中等

（理）如图，在矩形ABCD中，，BC=3，沿对角线BD将△BCD折起，使点C移到点C'，且C'在平面ABD的射影O恰好在AB上．
（1）求证：BC'⊥面ADC'；
（2）求二面角A-BC'-D的大小；
（3）求直线AB和平面BC'D所成的角．

22. 难度：中等

如图，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AA₁=2，AB=AC=1，∠BAC=90°，点M是BC的中点，点N在侧棱CC₁上．
（1）当线段CN的长度为多少时，NM⊥AB₁；
（2）若MN⊥AB₁，求异面直线B₁N与AB所成的角的正切值；
（3）若MN⊥AB₁，求二面角A-B₁N-M的大小
（4）若MN⊥AB₁，求点M到平面AB₁N的距离．