2006年广东省广州市卡西欧杯高二数学竞赛试卷（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

F₁，F₂是椭圆C：+=1的两个焦点，在C上满足PF₁⊥PF₂的点P的个数为（ ）
A．0
B．1
C．2
D．4

2. 难度：中等

已知实数集合A满足条件：若a∈A，则，则集合A中所有元素的乘积的值为（ ）
A．1
B．-1
C．±1
D．与a的取值有关

3. 难度：中等

若△ABC的三边长a、b、c满足a²-a-2b-2c=0且a+2b-2c+3=0，则它的最大内角的度数是（ ）
A．150°
B．135°
C．120°
D．90°

4. 难度：中等

已知定点A（7，8）和抛物线y²=4x，动点B和P分别在y轴上和抛物线上，若（其中O为坐标原点），则的最小值为（ ）
A．9
B．10
C．
D．

二、填空题

5. 难度：中等

高二数学竞赛获一等奖的人数在30到55人之间，颁奖典礼上给获一等奖的学生照相．按3列排，多出2人；按5列排，多出4人；按7列排，多出2人，则获一等奖的人数有    人．

6. 难度：中等

若函数f（x）的图象经过点，试写出两个满足上述条件的函数的解析式    ．

7. 难度：中等

已知点P（a，b）在直线3x-4y-14=0上，则的最小值为    ．

8. 难度：中等

正三棱锥P-ABC中，∠APB=∠BPC=∠APC=30°，，过点A作平面分别交PB、PC于E、F，则△AEF的周长的最小值为    ．

9. 难度：中等

现代社会对破译密码的要求越来越高，有一种密码把英文的明文（真实文）按字母分解，其中英文的a、b、c、…、z的26个字母（不论大小写）依次对应1、2、3、…、26这26个自然数，见表格：

a	b	c	d	e	f	g	h	i	j	k	l	m
1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13
n	o	p	q	r	s	t	u	v	w	x	y	z
14	15	16	17	18	19	20	21	22	23	24	25	26

给出如下一个变换公式：x′=
将明文转换成密文，如6→+13=16即f变为p；9→=5即i变为e．
按上述规定，明文good的密文是    ，密文gawqj的明文是    ．

10. 难度：中等

对一切实数x，所有的二次函数f（x）=ax²+bx+c（a＜b）的值均为非负实数，则的最大值是    ．

三、解答题

11. 难度：中等

已知函数（a为常数）．
（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期，并指出其单调减区间；
（Ⅱ）若函数f（x）在[0，]上恰有两个x的值满足f（x）=2，试求实数a的取值范围．

12. 难度：中等

已知：如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，PA=AB=1，BC=2．
（Ⅰ）求证：平面PDC⊥平面PAD；
（Ⅱ）若E是PD的中点，求异面直线AE与PC所成角的余弦值；
（Ⅲ）在BC边上是否存在一点G，使得D点到平面PAG的距离为1？若存在，求出BG的值；若不存在，请说明理由．

13. 难度：中等

如图，将一块直角三角形板ABO放置于平面直角坐标系中，已知AB=BO=2，AB⊥OB．点P（1，）是三角板内一点，现因三角板中阴影部分（即△POB）受到损坏，要把损坏部分锯掉，可用经过点P的任一直线MN将三角板锯成△AMN，设直线MN的斜率k．
（Ⅰ）试用k表示△AMN的面积S，并指出k的取值范围；
（Ⅱ）试求S的最大值．

14. 难度：中等

已知数列{a_n}的各项均为正数，且a₁=1，当n≥2时，都有a_n=a_n-1+2n-1，记…．
（Ⅰ）试求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）证明：T_n＜2；
（Ⅲ）令，B_n=b₁b₂…b_n，试比较与B_n的大小．

15. 难度：中等

设定义在R上的函数f（x）=ax⁴+bx³+cx²+dx+e，当x=-1时，f（x）取得极大值，并且函数y=f（x-1）的图象关于点（1，0）对称．
（Ⅰ）求f（x）的表达式；
（Ⅱ）试在函数f（x）的图象上求两点，使以这两点为切点的切线互相垂直，且切点的横坐标都在区间上；
（Ⅲ）若，（t∈R₊），求证：．