2010-2011学年北京市西城区（北区）高二（上）期末数学试卷（文科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

下列命题中的真命题是（ ）
A．∀x∈R，x+1＞0
B．∀x∈R，x²-1≥0
C．∃x∈R，|x|+1＜0
D．∃x∈R，x²≤0

2. 难度：中等

设抛物线的焦点为F（-2，0），则抛物线的标准方程是（ ）
A．y²=-8
B．x²=-8y
C．y²=-4
D．x²=-4y

3. 难度：中等

设函数f（x）=x-lnx的导函数为f′（x），那么f′（x）=（ ）
A．1-e^x
B．1+e^x
C．
D．

4. 难度：中等

“mn＜0”是方程“mx²+ny²=1表示双曲线”的（ ）
A．充分但不必要条件
B．必要但不充分条件
C．充要条件
D．既不充分又不必要条件

5. 难度：中等

函数f（x）=x²-2x的极值点为（ ）
A．1
B．-1
C．2
D．-2

6. 难度：中等

已知椭圆的焦距是短轴长的2倍，那么椭圆的离心率为（ ）
A．
B．
C．
D．

7. 难度：中等

在下列区间中，使函数f（x）=x²•e^x单调递减的区间是（ ）
A．（-3，-1）
B．（-1，0）
C．（0，1）
D．（1，3）

8. 难度：中等

已知命题“（¬p）∨（¬q）”是假命题，给出下列四个结论：
①命题“p∧q”是真命题；     ②命题“p∧q”是假命题；
③命题“p∨q”是真命题；     ④命题“p∨q”是假命题．
其中正确的结论为（ ）
A．①③
B．②③
C．①④
D．②④

9. 难度：中等

设函数y=ax²+1的图象为曲线C，若直线y=x与曲线C相切，则实数a=（ ）
A．
B．
C．4
D．8

10. 难度：中等

已知椭圆的两个焦点是F₁，F₂，点P在椭圆上，点A在x轴上，如果，那么=（ ）
A．
B．
C．
D．

二、填空题

11. 难度：中等

命题“∃x∈R，x²-x-1＞0”的否定是：    ．

12. 难度：中等

已知函数f（x）=cosx，那么=    ．

13. 难度：中等

已知双曲线的离心率为2，两个焦点为F₁（4，0），F₂（-4，0），那么双曲线的渐近线方程为    ．

14. 难度：中等

函数f（x）=x³+ax²+x的导函数是f′（x），若f′（x）是偶函数，则实数a=    ．

15. 难度：中等

设直线y=x+1与椭圆相交于A，B两点，则|AB|=    ．

16. 难度：中等

已知两点A（0，0），B（2，0）．如果椭圆上存在点C，使得△ABC为等边三角形，那么b=    ．

三、解答题

17. 难度：中等

已知抛物线y²=2px（p＞0）的焦点为F，准线方程是．
（1）求抛物线的方程；
（2）设点P在抛物线上，且|PF|=2，若O为坐标原点，求△OFP的面积．

18. 难度：中等

已知函数f（x）=x³-3ax-1在x=-1处取得极值．
（I）求实数a的值；
（II）当x∈[-2，1）时，求函数f（x）的值域．

19. 难度：中等

已知两点F₁（-2，0），F₂（2，0），曲线C上的动点P满足．
（1）求曲线C的方程；
（2）曲线C上是否存在点M，使得？若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由．

四、填空题

20. 难度：中等

对甲、乙两组青年进行体检，得到如图所示的身高数据（单位：cm）的茎叶图，那么甲组青年的平均身高是    cm．若从乙组青年中随机选出一人，他的身高恰为175cm的概率为    ．

21. 难度：中等

期中考试后，学校对高二年级的数学成绩进行统计，全年级500名同学的成绩全部介于60分与100分之间．将他们的成绩数据绘制成如图所示的频率分布直方图，由图中数据可知，成绩大于或等于80分的学生人数为    ．
若要从全体学生中，用分层抽样的方法抽取60名同学的试卷进行分析，则从成绩在[90，100]内的学生中抽取的人数应为    ．

22. 难度：中等

当如图所示的程序框图输出的结果为6时，处理框中①处的数应该是    ．

23. 难度：中等

一个袋中装有4个形状大小完全相同的球，球的编号分别为1，2，3，4．现从袋中随机取一个球，记该球的编号为m，将球放回袋中，然后再从袋中随机取一个球，记该球的编号为n，那么随机事件“|m-n|≤1”的概率是    ．

24. 难度：中等

已知圆的半径是1，A为圆周上的一个定点，在该圆周上随机取一点B，则劣弧AB的长度小于1的概率是    ．

25. 难度：中等

已知n次多项式．
①当x=x时，求S_n（x）的值通常要逐项计算，如：计算S₂（x）=a₂x²+a₁x+a共需要5次运算（3次乘法，2次加法），依此算法计算S_n（x）的值共需要    次运算．
②我国宋代数学家秦九韶在求S_n（x）的值时采用了一种简捷的算法，实施该算法的程序框图如图所示，依此算法计算S_n（x）的值共需要    次运算．

五、解答题

26. 难度：中等

已知函数f（x）=（x²-ax-a）e^x，其中a∈R．
（1）若a=1，求曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线方程；
（2）当x∈[-2，2]时，求函数f（x）的最小值．

27. 难度：中等

已知椭圆的离心率是，且经过点M（2，1），直线与椭圆相交于A，B两点．
（1）求椭圆的方程；
（2）当m=-1时，求△MAB的面积；
（3）求△MAB的内心的横坐标．