2009-2010学年北京市海淀区高三（上）期末数学试卷（文科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

sin225°=（ ）
A．1
B．-1
C．
D．

2. 难度：中等

下面给出的四个点中，位于表示的平面区域内的点是（ ）
A．（0，2）
B．（-2，0）
C．（0，-2）
D．（2，0）

3. 难度：中等

双曲线3x²-y²=3的渐近线方程是（ ）
A．y=±3
B．y=±
C．y=±
D．y=±

4. 难度：中等

某学校准备调查高三年级学生完成课后作业所需时间，采取了两种抽样调查的方式：第一种由学生会的同学随机对24名同学进行调查；第二种由教务处对年级的240名学生编号，由001到240，请学号最后一位为3的同学参加调查，则这两种抽样方式依次为（ ）
A．分层抽样，简单随机抽样
B．简单随机抽样，分层抽样
C．分层抽样，系统抽样
D．简单随机抽样，系统抽样

5. 难度：中等

已知m，n是两条不同直线，α，β是两个不同平面下列命题中不正确的是（ ）
A．若m∥α，α∩β=n，则m∥n
B．若m∥n，m⊥α，则n⊥α
C．若m⊥α，m⊥β，则α∥β
D．若m⊥α，m⊂β，则α⊥β

6. 难度：中等

如图，向量a-b等于（ ）
A．-4e₁-2e₂
B．-2e₁-4e₂
C．e₁-3e₂
D．3e₁-e₂

7. 难度：中等

直线l与两直线y=1和x-y-7=0分别交于A，B两点，若线段AB的中点为M（1，-1），则直线l的斜率为（ ）
A．
B．
C．
D．

8. 难度：中等

已知椭圆C：的焦点为F₁，F₂，若点P在椭圆上，且满足|PO|²=|PF₁|•|PF₂|（其中为坐标原点），则称点P为“★点”，那么下列结论正确的是（ ）
A．．椭圆上的所有点都是“★点”
B．．椭圆上仅有有限个点是“★点”
C．．椭圆上的所有点都不是“★点”
D．．椭圆上有无穷多个点（但不是所有的点）是“★点”

二、填空题

9. 难度：中等

抛物线y=的准线方程是    ．

10. 难度：中等

某程序的框图如图所示，则执行该程序，输出的S=    ．

11. 难度：中等

一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为    ．

12. 难度：中等

在区间|[-2，2]上，随机地取一个数x，则x²位于0到1之间的概率是    ．

13. 难度：中等

已知F₁为椭圆的左焦点，直线l：y=x-1与椭圆C交于A、B两点，那么|F₁A|+|F₁B|的值为    ．

14. 难度：中等

对于函数f（x），若存在区间M=[a，b]，（a＜b），使得{y|y=f（x），x∈M}=M，则称区间M为函数f（x）的一个“稳定区间”．
请你写出一个具有“稳定区间”的函数；（只要写出一个即可）
给出下列4个函数：
①f（x）=g^x；②f（x）=x³，③④f（x）=lnx+1
其中存在“稳定区间”的函数有    ．（填上正确的序号）

三、解答题

15. 难度：中等

已知集合x|a+1小于x小于2a+15
（1）求集合S；
（2）若S⊆P，求实数a的取值范围．

16. 难度：中等

某校高三年级进行了一次数学测验，随机从甲乙两班各抽取6名同学，所得分数的茎叶图如图所示：
（1）根据茎叶图判断哪个班的平均分数较高，并说明理由；
（2）现从甲班这6名同学中随机抽取两名同学，求他们的分数之和大于165分的概率．

17. 难度：中等

长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中AB=1，AA₁=AD=2．点E为AB中点．
（1）求三棱锥A₁-ADE的体积；
（2）求证：A₁D⊥平面ABC₁D₁；
（3）求证：BD₁∥平面A₁DE．

18. 难度：中等

函数．
（1）若f（x）在点（1，f（1））处的切线斜率为，求实数a的值；
（2）若f（x）在x=1取得极值，求函数f（x）的单调区间．

19. 难度：中等

已知圆C经过点A（-2，0），B（0，2），且圆心在直线y=x上，又直线l：y=kx+1与圆C相交于P、Q两点．
（1）求圆C的方程；
（2）若，求实数k的值；

20. 难度：中等

已知函数f（x）=x²+m，其中m∈R．定义数列{a_n}如下：a₁=0，a_n+1=f（a_n），n∈N^*．
（1）当m=1时，求a₂，a₃，a₄的值；
（2）是否存在实数m，使a₂，a₃，a₄构成公差不为0的等差数列？若存在，请求出实数m的值，若不存在，请说明理由；
（3）求证：当时，总能找到k∈N，使得a_k大于2010．