2008-2009学年黑龙江省鹤岗市东山一中高二（上）期中数学试卷（文科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

“若p，则q”为真命题，则¬p是¬q的（ ）
A．充分条件
B．必要条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件

2. 难度：中等

一个命题与他们的逆命题、否命题、逆否命题这4个命题中（ ）
A．真命题与假命题的个数相同
B．真命题的个数一定是偶数
C．真命题的个数一定是奇数
D．真命题的个数可能是奇数，也可能是偶数

3. 难度：中等

不等式x²-2x-3＜0成立的一个必要不充分条件是（ ）
A．-1＜x＜3
B．0＜x＜3
C．-2＜x＜3
D．-2＜x＜1

4. 难度：中等

有4个命题：
（1）没有男生爱踢足球；
（2）所有男生都不爱踢足球；
（3）至少有一个男生不爱踢足球；  
（4）所有女生都爱踢足球；
其中是命题“所有男生都爱踢足球”的否定是（ ）
A．（1）
B．（2）
C．（3）
D．（4）

5. 难度：中等

已知命题甲：f'（x）=0，命题乙：点x是可导函数f（x）的极值点，则甲是乙的（ ）
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充要条件
D．既不充分而不必要条件

6. 难度：中等

过抛物线y²=4x的焦点作直线交抛物线于A（x₁，y₁）B（x₂，y₂）两点，如果x₁+x₂=6，那么|AB|=（ ）
A．6
B．8
C．9
D．10

7. 难度：中等

曲线f（x）=x³+x-2在p处的切线平行于直线y=4x-1，则p点的坐标为（ ）
A．（1，0）
B．（2，8）
C．（2，8）和（-1，-4）
D．（1，0）和（-1，-4）

8. 难度：中等

函数在区间（0，+∞）上单调递增，那么实数a的取值范围是（ ）
A．a≥0
B．a＞0
C．a≤0
D．a＜0

9. 难度：中等

椭圆上的点P到它的左准线的距离是10，那么点P 到它的右焦点的距离是（ ）
A．15
B．12
C．10
D．8

10. 难度：中等

已知F₁、F₂是双曲线的两个焦点，M为双曲线上的点，若MF₁⊥MF₂，∠MF₂F₁=60°，则双曲线的离心率为（ ）
A．
B．
C．
D．

11. 难度：中等

直线y=x-a与抛物线y²=ax交于A、B两点，若F为抛物线焦点，则△AFB是  （ ）
A．锐角三角形
B．直角三角形
C．钝角三角形
D．其形状不能确定

12. 难度：中等

正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱长为1，点M在AB上，且AM=，点P是平面ABCD上的动点，且动点P到直线A₁D₁的距离与动点P到点M的距离的平方差为1，则动点的轨迹是（ ）
A．圆
B．抛物线
C．双曲线
D．直线

二、填空题

13. 难度：中等

函数y=3x²-2lnx的单调增区间是    ，减区间是    ．

14. 难度：中等

已知椭圆（a＞3）的两个焦点为F₁、F₂，且|F₁F₂|=8，弦AB过点F₁，则△ABF₂的周长为    ．

15. 难度：中等

如图，椭圆中心在坐标原点，F为左焦点，当时，其离心率为，此类椭圆被称为“黄金椭圆”．类比“黄金椭圆”，可推算出“黄金双曲线”的离心率e等于    ．

16. 难度：中等

命题∀x∈R，x²-x+3＞0的否定是    ．

17. 难度：中等

若不论k为何值，直线y=k（x-2）+b与曲线x²-y²=1总有公共点，则b的取值范围是    ．

三、解答题

18. 难度：中等

Y已知p：|1-|≤2，q：x²-2x+1-m²≤0（m＞0）．若“非p”是“非q”的必要而不充分条件，求实数m的取值范围．

19. 难度：中等

中心在原点，焦点在x轴上的一个椭圆与一双曲线有共同的焦点F₁，F₂，且，椭圆的长半轴与双曲线的实半轴之差为4，离心率之比为3：7．求这两条曲线的方程．

20. 难度：中等

设f（x）=x³-x²-2x+5
（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间．
（Ⅱ）求极值点与极值．

21. 难度：中等

根据抛物线的光学原理：一水平光线射到抛物线上一点，经抛物线反射后，反射光线必过焦点．然后求解此题：抛物线y²=4x上有两个定点A、B分别在对称轴的上、下两侧，一水平光线射到A点后，反射光线会平行y轴，一水平光线射到B点后，反射光线所在直线的斜率为 ．
（Ⅰ）求直线AB的方程．
（Ⅱ）在抛物线AOB这段曲线上求一点P，使△PAB的面积最大，并求这个最大面积．

22. 难度：中等

设函数f（x）=-x³+3x+2分别在x₁、x₂处取得极小值、极大值．xoy平面上点A、B的坐标分别为（x₁，f（x₁））、（x₂，f（x₂）），该平面上动点P满足，点Q是点P关于直线y=2（x-4）的对称点．求
（I）求点A、B的坐标；
（II）求动点Q的轨迹方程．

23. 难度：中等

已知动点M到点F．
（1）求动点M的轨迹C的方程；
（2）若过点E（0，1）的直线与曲线C在y轴左侧交于不同的两点A、B，点P（-2，0）满足，求直线PN在y轴上的截距d的取值范围．．