2009-2010学年北京市101中学高二（上）期中数学试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

已知命题p：∃x∈R，使tanx=1，其中正确的是（ ）
A．¬p：∃x∈R，使tanx≠1
B．¬p：∃x∉R，使tanx≠1
C．¬p：∀x∈R，使tanx≠1
D．¬p：∀x∉R，使tanx≠1

2. 难度：中等

双曲线的渐近线方程是（ ）
A．
B．
C．
D．

3. 难度：中等

已知△ABC的周长为20，且顶点B （0，-4），C （0，4），则顶点A的轨迹方程是（ ）
A．（x≠0）
B．（x≠0）
C．（x≠0）
D．（x≠0）

4. 难度：中等

抛物线y²=4ax（a＜0）的焦点坐标是（ ）
A．（a，0）
B．（-a，0）
C．（0，a）
D．（0，-a）

5. 难度：中等

直线与曲线y²=x只有一个公共点，则k=（ ）
A．
B．
C．
D．

6. 难度：中等

以下有四种说法，其中正确说法的个数为（ ）
（1）“m是实数”是“m是有理数”的充分不必要条件；
（2）“a＞b”是“a²＞b²”的充要条件；
（3）“x=3”是“x²-2x-3=0”的必要不充分条件；
（4）“A∩B=B”是“A=ϕ”的必要不充分条件．
A．0个
B．1个
C．2个
D．3个

7. 难度：中等

抛物线的顶点在坐标原点，抛物线的焦点和椭圆的右焦点重合，则抛物线的标准方程为（ ）
A．y²=16
B．y²=8
C．y²=12
D．y²=6

8. 难度：中等

椭圆的两个焦点为F₁、F₂，过F₁作垂直于x轴的直线与椭圆相交，一个交点为P，则P到F₂的距离为（ ）
A．
B．
C．
D．4

9. 难度：中等

已知圆F₁：（x+2）²+y²=1，圆F₂：（x-2）²+y²=4，动圆与圆F₁内切且与圆F₂外切，则动圆圆心的轨迹方程是（ ）
A．
B．
C．
D．

10. 难度：中等

若直线y=kx+2与双曲线x²-y²=6的右支交于不同的两点，则k的取值范围是（ ）
A．，
B．
C．
D．

二、填空题

11. 难度：中等

抛物线y²=8x上一个点P（P在x轴上方）到焦点的距离是8，此时P点的坐标是    ．

12. 难度：中等

命题“若x≤1，则-1＜x＜1”的否命题是：    ．

13. 难度：中等

若方程表示的图形是双曲线，则k的取值范围为    ．

14. 难度：中等

双曲线x²-y²=1左支上一点（a，b）到其渐近线y=x的距离是，则a+b的值为    ．

15. 难度：中等

如果椭圆的弦被点（4，2）平分，则这条弦所在的直线方程是    ．

16. 难度：中等

P为椭圆上一点，F₁、F₂为左右焦点，若∠F₁PF₂=60°，则△F₁PF₂的面积为    ．

三、解答题

17. 难度：中等

已知p：方程x²+mx+1=0有两个不等的负实根，q：方程4x²+4（m-2）x+1=0无实根．若p或q为真，p且q为假．求实数m的取值范围．

18. 难度：中等

已知椭圆的顶点与双曲线的焦点重合，它们的离心率之和为，若椭圆的焦点在x轴上，求椭圆的标准方程．

19. 难度：中等

已知抛物线y²=2px（p＞0），点M（2，y）在抛物线上，
（1）求抛物线方程
（2）设A点坐标为，求抛物线上距点A最近的点B的坐标及相应的距离|BA|．

20. 难度：中等

设m∈R，在平面直角坐标系中，已知向量a=（mx，y+1），向量b=（x，y-1），a⊥b，动点M（x，y）的轨迹为E．
（Ⅰ）求轨迹E的方程，并说明该方程所表示曲线的形状；
（Ⅱ）已知m=．证明：存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与轨迹E恒有两个交点A，B，且OA⊥OB（O为坐标原点），并求该圆的方程；
（Ⅲ）已知m=．设直线l与圆C：x²+y²=R²（1＜R＜2）相切于A₁，且l与轨迹E只有一个公共点B₁．当R为何值时，|A₁B₁|取得最大值？并求最大值．