2009-2010学年广东省揭阳市高三（上）期末数学试卷（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

若复数z=2sinα+（i-1）cosα是纯虚数，则tanα的值为（ ）
A．2
B．
C．
D．

2. 难度：中等

定义集合运算：A⊗B={z|z=xy，x∈A，y∈B}．设A={0，2}，B={1，3}，C={x|x²-3x+2=0}，则（A⊗B）∩（B⊗C）=（ ）
A．{2}
B．{0，2}
C．{2，6}
D．{2，3，6}

3. 难度：中等

设P是△ABC所在平面上一点，且，若△ABC的面积为2，则△PBC面积为（ ）
A．
B．1
C．2
D．4

4. 难度：中等

已知函数的图象与直线y=2的两个相邻交点的距离等于π，则为得到函数y=f（x）的图象可以把函数y=sinωx的图象上所有的点（ ）
A．向右平移，再将所得图象上所有的点的纵坐标变为原来的2倍
B．向右平移，再将所得图象上所有的点的纵坐标变为原来的倍
C．向左平移，再将所得图象上所有的点的纵坐标变为原来的倍
D．向左平移，再将所得图象上所有的点的纵坐标变为原来的2倍

5. 难度：中等

某校高三（1）班共有60人，现需从中抽取所有座位号能被3整除的同学参加某项测试，下面是四位同学设计的输出参加测试同学座位号的程序框图，则其中设计正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．

6. 难度：中等

已知α，β为互不重合的平面，m，n为互不重合的直线，给出下列四个命题：
①若m⊥α，n⊥α，则m∥n；
②若m⊂α，n⊂α，m∥β，n∥β，，则 α∥β；
③若α⊥β，α∩β=m，n⊂α，n⊥m，则n⊥β；
④若m⊥α，α⊥β，m∥n，则n∥β．其中所有正确命题的序号是（ ）
A．①③
B．②④
C．①④
D．③④

7. 难度：中等

椭圆的焦点为F₁、F₂，过点F₁作直线与椭圆相交，被椭圆截得的最短的线段MN长为，△MF₂N的周长为12，则椭圆的离心率为（ ）
A．
B．
C．
D．

8. 难度：中等

已知函数f（x）=|x-2|+|x+3|，命题p：∃x∈R，使f（x）＜a．则“命题p是假命题”，是“a＜5”的（ ）
A．充要条件
B．既不充分也不必要条件
C．充分不必要条件
D．必要不充分条件

二、填空题

9. 难度：中等

设曲线网y=e^ax在点（0，1）处的切线与直线x+4y-1=0垂直，则a=    ．

10. 难度：中等

若展开式的二项式系数之和为64，则n=    ；展开式的常数项为    ．

11. 难度：中等

飞机的航线和山顶C在同一个铅锤平面内，已知飞机的高度保持在海拔h（km），飞行员先在点A处看到山顶的俯角为α，继续飞行a（km）后在点B处看到山顶的俯角为β，试用h、a、α、β表示山顶的海拔高度为    （km）．

12. 难度：中等

已知函数f（x）=log₂x，等比数列{a_n}的公比为2，若f=25，则a₁=    ；=    ．

13. 难度：中等

一个口袋中装有3个白球和2个红球，现从袋中取球，每次任取一个，记下颜色后放回，直到红球出现3次时停止，总取球数记为ξ，则“ξ=4”的概率为    ．

14. 难度：中等

已知抛物线C：，（t为参数）设O为坐标原点，点M（x，y）在C上运动，点P（x，y）是线段OM的中点，则点P的轨迹普通方程为    ．

15. 难度：中等

如图，△ABC中，∠C=90°，⊙O分别切AC、BC于M、N，圆心O在AB上，⊙O的半径为12cm，BO=20cm，则AO的长为    ．

三、解答题

16. 难度：中等

已知：△ABC中角A、B、C所对的边分别为a、b、c且．
（1）求角C的大小；
（2）若sinA，sinC，sinB成等差数列，且，求c边的长．

17. 难度：中等

某单位将200名职工的年龄分成40岁以下、40-50岁、50岁以上三个区域，分布情况如右图，该单位为了解职工的睡眠情况，用分层抽样方法从中抽取40名职工进行调查．调查的数据整理分组如下表所示：

睡眠时间 （单位：小时）	[4，5）	[5，6）	[6，7）	[7，8）	[8，9）	[9，10]
频 数	2	6		12	8
频 率			0.20

（1）将以上表格补充完整，
（2）在给定的坐标系内画出样本的频率分布直方图；
（3）求从抽取的样本中随机选2人，这2人年龄在同
一区域的概率．

18. 难度：中等

已知一几何体的直观图和三视图如下图示：

假设点E是AB上的动点，试根据以上图形提供的信息解决以下问题．
（1）三棱锥C-DED₁的体积是否与点E的位置有关？说明理由；
（2）当异面直线AD₁与EC所成角为60°时，请确定动点E的位置；
（3）在（2）的条件下，求证平面DED₁⊥平面D₁EC．

19. 难度：中等

已知椭圆中心在坐标原点，短轴长为2，一条准线l的方程为x=2．
（1）求椭圆方程；
（2）设O为坐标原点，F是椭圆的右焦点，点M是直线l上的动点，过点F作OM的垂线与以OM为直径的圆交于点N，求证：线段ON的长为定值．

20. 难度：中等

已知函数f（x）=bx，g（x）=ax²+1，h（x）=ln（1+x²）．（a，b∈R）
（1）若M={x|f（x）+g（x）≥0}，-1∈M，2∈M，z=3a-b，求z的取值范围；
（2）设F（x）=f（x）+h（x），且b≤0，试讨论函数F（x）的单调性．

21. 难度：中等

设数列{a_n}满足a_n≠0，a₁=1，a_n=（1-2n）a_na_n-1+a_n-1（n≥2），数列{a_n}的前n项和为S_n．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）求证：当n≥2时，；
（3）试探究：当n≥2时，是否有？说明理由．