2010-2011学年广东省梅州、聿怀两校联考高二（上）期中数学试卷（文科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

下列命题是真命题的为（ ）
A．若，则x=y
B．若x²=1，则x=1
C．若x=y，则
D．若x＜y，则x²＜y²

2. 难度：中等

如果命题“p或q”与命题“非p”都是真命题，那么（ ）
A．命题p不一定是假命题
B．命题q不一定是真命题
C．命题q一定是真命题
D．命题p与命题q真假性相同

3. 难度：中等

直线3x+4y-14=0与圆（x-1）²+（y+1）²=4的位置关系是（ ）
A．相交且直线过圆心
B．相切
C．相交但直线不过圆心
D．相离

4. 难度：中等

已知等差数列{a_n}的公差为2，若a₁，a₂，a₅成等比数列，则a₂等于（ ）
A．-4
B．2
C．3
D．-3

5. 难度：中等

过点A（-1，2）作直线，若直线在两条坐标轴上的截距相等，则满足条件的直线有（ ）
A．1条
B．2条
C．3条
D．4条

6. 难度：中等

在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知A=，a=，b=1，则c=（ ）
A．1
B．2
C．-1
D．

7. 难度：中等

一元二次方程ax²+2x+1=0，（a≠0）有一个正根和一个负根的充分不必要条件是（ ）
A．a＜0
B．a＞0
C．a＜-1
D．a＞1

8. 难度：中等

已知方程表示双曲线，则k的取值范围是（ ）
A．-1＜k＜1
B．k＞0
C．k≥0
D．k＞1或k＜-1

9. 难度：中等

若双曲线x²-y²=1的右支上一点P（a，b）到直线y=x的距离为，则a+b的值为（ ）
A．-
B．
C．±
D．±2

10. 难度：中等

如图F₁，F₂分别是椭圆的两个焦点，A和B是以O为圆心，以|OF₁|为半径的圆与该左半椭圆的两个交点，且△F₂AB是等边三角形，则椭圆的离心率为（ ）

A．
B．
C．
D．

二、填空题

11. 难度：中等

不等式的解集为    ．

12. 难度：中等

若半径为1的动圆与圆x²+y²=4相切，则动圆圆心的轨迹方程是    ．

13. 难度：中等

若正方体的表面积为6，且它的所有顶点都在同一个球面上，则这个球的体积等于    ．

14. 难度：中等

设数列{a_n}的前n项和为S_n，S_n=（对于所有n≥1），且a₄=54，则a₁的数值是    ．

三、解答题

15. 难度：中等

已知△ABC中，已知a=3，c=2，B=150°，求b及S_△ABC．

16. 难度：中等

给定两个命题，命题p：对任意实数x都有ax²+ax+1＞0恒成立，命题q：关于x的方程x²-x+a=0有实数根，如果p∨q为真命题，p∧q为假命题，求实数a的取值范围．

17. 难度：中等

已知正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁，O是底ABCD对角线的交点．求证：
（1）C₁O∥面AB₁D₁；
（2）A₁C⊥面AB₁D₁．

18. 难度：中等

求圆心在直线l₁：y-3x=0上，与x轴相切，且被直线l₂：x-y=0截得弦长为的圆的一般方程．

19. 难度：中等

如图，是第七届国际数学教育大会（ICME-7）的会徽，它是由一连串直角三角形演化而成的，其中OA₁=A₁A₂=A₂A₃=…=A₇A₈=1，它可以形成近似的等角螺线．记a_n=|OA_n|，n=1，2，3，…．
（1）写出数列的前4项；
（2）猜想数列{a_n}的通项公式（不要求证明）；
（3）若数列{b_n} 满足，试求数列{b_n} 的前n项和S_n．

20. 难度：中等

椭圆的离心率为，长轴端点与短轴端点间的距离为．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）过点D（0，4）的直线l与椭圆C交于两点E，F，O为坐标原点，若△OEF为直角三角形，求直线l的斜率．