2009-2010学年黑龙江省哈尔滨三中高一（下）期末数学试卷（必修2）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

已知正方体的棱长为2，则其外接球的半径为（ ）
A．2
B．
C．
D．

2. 难度：中等

在空间中，垂直于同一直线的两条直线的位置关系是（ ）
A．垂直
B．平行
C．异面
D．以上都有可能

3. 难度：中等

棱长为2的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，=（ ）
A．
B．4
C．
D．-4

4. 难度：中等

如图是一个无盖的正方体盒子展开后的平面图，A、B、C是展开图上的三点，则在正方体盒子中，∠ABC的值为（ ）
A．180°
B．120°
C．60°
D．45°

5. 难度：中等

四棱台ABCD-A₁B₁C₁D₁的12条棱中，与棱AA₁异面的棱共有（ ）
A．3条
B．4条
C．6条
D．7条

6. 难度：中等

正四面体ABCD中，AB与平面BCD所成角的正弦值为（ ）
A．
B．
C．
D．

7. 难度：中等

如图，在正四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E、F分别是AB₁、BC₁的中点，则以下结论中不成立的是（ ）
A．EF与BB₁垂直
B．EF与BD垂直
C．EF与CD异面
D．EF与A₁C₁异面

8. 难度：中等

已知直线m，n，平面α，β，给出下列命题：
①若m⊥α，m⊥β，则α⊥β；②若m∥α，m∥β，则α∥β；
③若m⊥α，m∥β，则α⊥β；④若m∥n，m⊥α，则α⊥n．
其中是真命题的是（ ）
A．②③
B．①③
C．②④
D．③④

9. 难度：中等

把10个相同的小正方体，按如图所示的位置堆放，它的外表含有若干小正方形．如果将图中标有A的一个小正方体搬去，这时外表含有的小正方形个数与搬去前相比（ ）
A．不增不减
B．减少1个
C．减少2个
D．减少3个

10. 难度：中等

一个几何体的三视图如右图所示，则此几何体的表面积是（ ）

A．
B．
C．
D．]

11. 难度：中等

已知三棱柱ABC-A₁B₁C₁的侧棱与底面边长都相等，A₁在底面ABC内的射影为△ABC的中心，则AB₁与底面ABC所成角的正弦值等于（ ）

A．
B．
C．
D．

12. 难度：中等

如图，在直三棱柱A₁B₁C₁-ABC中，，AB=AC=A₁A=1，已知G与E分别是棱A₁B₁和CC₁的中点，D与F分别是线段AC与AB上的动点（不包括端点）．若GD⊥EF，则线段DF的长度的取值范围是（ ）

A．[，1）
B．[，2）
C．[1，）
D．[，）

二、填空题

13. 难度：中等

若，，则=    ．

14. 难度：中等

长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=3，BC=4，AA₁=5，P是棱BC上一动点，则AP+PC₁的最小值为     ．

15. 难度：中等

Rt△ABC中，A=30°，BC=2，将Rt△ABC沿斜边AC所在直线旋转一周，那么所得几何体的体积为     ．

16. 难度：中等

将边长为2，一个内角为60°的菱形ABCD沿较短对角线BD折成四面体ABCD，点E，F分别为AC，BD的中点，则下列命题中正确的是    ．
①EF∥AB；
②EF⊥BD；
③EF有最大值，无最小值；
④当四面体ABCD的体积最大时，； 
⑤AC垂直于截面BDE．

三、解答题

17. 难度：中等

①已知α⊥β，a⊥β，a⊄α；求证：a∥α．
②已知a⊥β，a∥α；求证：α⊥β．

18. 难度：中等

正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，所有棱长均相等，E，F分别是棱A₁B₁，A₁C₁的中点，截面EBCF将三棱柱截成几何体Ⅰ和几何体Ⅱ两个几何体．
①求几何体Ⅰ和几何体Ⅱ的表面积之比；
②求几何体Ⅰ和几何体Ⅱ的体积之比．

19. 难度：中等

棱长为2的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，A₁C₁∩B₁D₁=O．
①求异面直线OA与BD₁所成角的余弦值；
②求OA与平面BB₁D₁D所成角的余弦值．

20. 难度：中等

已知斜三棱柱ABC-A₁B₁C₁的底面是正三角形，侧面ABB₁A₁是边长为2的菱形，且∠A₁AB=60°，M是A₁B₁的中点，MB⊥AC．
①求证：BM⊥平面ABC；
②求点M到平面BB₁C₁C的距离．

21. 难度：中等

四棱锥O-ABCD中，OB⊥底面ABCD，且，底面ABCD是菱形；点B在平面OAD内的射影G恰为△OAD的重心．
①求OA的长；
②求二面角B-OC-D的平面角的余弦值．

22. 难度：中等

某青年企业家准备在北川禹里乡投资修建一个有30个房间供旅客住宿的旅游度假村，并将其全部利润用于灾后重建．据测算，若每个房间的定价为60元/天，房间将会住满；若每个房间的定价每增加5元∕天时，就会有一个房间空闲．度假村对旅客住宿的房间将支出各种费用20元/天•间（没住宿的不支出）．问房价每天定为多少时，度假村的利润最大？