2009-2010学年数学暑期综合练习（2）（解析版）

一、填空题

1. 难度：中等

若复数z满足方程（i是虚数单位），则z=    ．

2. 难度：中等

已知幂函数f（x）=k•x^α的图象过点（，），则k+α=    ．

3. 难度：中等

函数的定义域为    ．

4. 难度：中等

函数y=x•sinx的导数是    ．

5. 难度：中等

若双曲线上一点P到它的右焦点的距离是8，则点P到它的右准线的距离是    ．

6. 难度：中等

设等差数列{a_n}的前n项和为S_n，若a₄+a₁₂+a₁₇+a₁₉=8，则S₂₅的值为     ．

7. 难度：中等

若x，y满足约束条件则z=2x-y的最小值为    ．

8. 难度：中等

如图，在△ABC中，AD⊥AB，，，则=    ．

9. 难度：中等

曲线在点P（1，5）的切线的方程是     ．

10. 难度：中等

在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若，则A=    ．

11. 难度：中等

已知函数f（x）满足：，4f（x）f（y）=f（x+y）+f（x-y）（x，y∈R），则f（2010）=    ．

12. 难度：中等

已知x＞0，y＞0，x，a，y成等差数列，x，b，y成等比数列，则的最小值是    ．

13. 难度：中等

已知以F为焦点的抛物线y²=4x上的两点A、B满足，则弦AB的中点到准线的距离为    ．

14. 难度：中等

动点A（x，y）在圆x²+y²=1上绕坐标原点沿逆时针方向匀速旋转，12秒旋转一周．已知时间t=0时，点A的坐标是，则当0≤t≤12时，动点A的纵坐标y关于t（单位：秒）的函数的单调递增区间是     ．

二、解答题

15. 难度：中等

在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，b=5c．
（1）求sinC的值；
（2）求sin（2A+C）的值；
（3）若△ABC的面积，求a的值．

16. 难度：中等

如图，在四棱锥P-ABCD中，AB∥DC，DC=2AB，AP=AD，PB⊥AC，BD⊥AC，E为PD的中点．求证：
（1）AE∥平面PBC；
（2）PD⊥平面ACE．

17. 难度：中等

等差数列{a_n}中，，前n项和为S_n，S₂=4且S₄=12，等比数列{b_n}的公比为8，且b₃=64．
（Ⅰ）求a_n与b_n；
（Ⅱ）求．

18. 难度：中等

如图，椭圆C：+=1（a＞b＞0）的焦点F₁，F₂和短轴的一个端点A构成等边三角形，点（，）在椭圆C上，直线l为椭圆C的左准线．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）点P是椭圆C上的动点，PQ⊥l，垂足为Q．是否存在点P，使得△F₁PQ为等腰三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．

19. 难度：中等

某厂家拟在2010年举行促销活动，经调查测算，该产品的年销售量（即该厂的年产量）x万件与年促销费用m万元（m≥0）满足x=3-（k为常数），如果不搞促销活动，则该产品的年销售量只能是1万件．已知2010年生产该产品的固定投入为8万元，每生产1万件该产品需要再投入16万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品年平均成本的1.5倍（产品成本包括固定投入和再投入两部分资金）．
（1）将2010年该产品的利润y万元表示为年促销费用m万元的函数；
（2）该厂家2010年的促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大．

20. 难度：中等

已知函数f（x）=xe^-x（x∈R）
（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间和极值；
（Ⅱ）已知函数y=g（x）的图象与函数y=f（x）的图象关于直线x=1对称，证明：当x＞1时，f（x）＞g（x）；
（Ⅲ）如果x₁≠x₂，且f（x₁）=f（x₂），证明x₁+x₂＞2．