2009-2010学年高三（上）数学寒假作业12（立体几何二）（解析版）

一、填空题

1. 难度：中等

平行六面体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，既与AB共面也与CC₁共面的棱的条数为     ．

2. 难度：中等

已知直线l，m，n，平面α，m⊂α，n⊂α，则“l⊥α”是“l⊥m，且l⊥n”的     条件．（填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”之一）

3. 难度：中等

棱长为2的正四面体的四个顶点都在同一个球面上，若过该球球心的一个截面如图，则图中三角形（正四面体的截面）的面积是    ．

4. 难度：中等

已知A，B，C三点在球心为O，半径为R的球面上，AC⊥BC，且AB=R，那么A，B两点的球面距离为    ，球心到平面ABC的距离为    ．

5. 难度：中等

在如图的正方体中，M、N分别为棱BC和棱CC₁的中点，则异面直线AC和MN所成的角为    度．

6. 难度：中等

平面α外有两条直线m和n，如果m和n在平面α内的射影分别是m′和n′，给出下列四个命题：（1）m′⊥n′⇒m⊥n；（2）m⊥n⇒m′⊥n′；（3）m′与n′相交⇒m与n相交或重合；（4）m′与n′平行⇒m与n平行或重合．其中不正确的命题是    ．

7. 难度：中等

已知一个圆锥的展开图如图所示，其中扇形的圆心角为120°，底面圆的半径为1，则该圆锥的体积为    ．

8. 难度：中等

如图把正方形ABCD沿对角线BD折成直二面角，对于下面结论：
①AC⊥BD；
②CD⊥平面ABC；
③AB与BC成60°角；
④AB与平面BCD成45°角．
则其中正确的结论的序号为    ．

9. 难度：中等

正三棱锥P-ABC侧棱长为a，∠APB=30°，D、E分别在PB、PC上，则△ADE的周长的最小值为    ．

10. 难度：中等

给出下列关于互不相同的直线m、l、n和平面α、β的四个命题：
①若m⊂α，l∩α=A，点A∉m，则l与m不共面；
②若m、l是异面直线，l∥α，m∥α，且n⊥l，n⊥m，则n⊥α；
③若l∥α，m∥β，α∥β，则l∥m；
④若l⊂α，m⊂α，l∩m=点A，l∥β，m∥β，则α∥β．
其中为真命题的是    ．

二、解答题

11. 难度：中等

如图，在长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=BC=1，BB₁=2，E是棱CC₁上的点，且．
（1）求三棱锥C-BED的体积；
（2）求证：A₁C⊥平面BDE．

12. 难度：中等

如图，M，N，K分别是正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱AB，CD，C₁D₁的中点．
（1）求证：AN∥平面A₁MK；
（2）求证：平面A₁B₁C⊥平面A₁MK．

13. 难度：中等

如图，在四棱锥P-ABCD中，ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，，点F是PD的中点，点E在CD上移动．
（1）求三棱锥E-PAB体积；
（2）当点E为CD的中点时，试判断EF与平面PAC的关系，并说明理由；
（3）求证：PE⊥AF．

14. 难度：中等

如图，在直四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，已知DC=DD₁=2AD=2AB，AD⊥DC，AB∥DC．
（1）求证：D₁C⊥AC₁；
（2）设E是DC上一点，试确定E的位置，使D₁E∥平面A₁BD，并说明理由．

15. 难度：中等

已知等腰梯形PDCB中（如图1），PB=3，DC=1，PB=BC=，A为PB边上一点，且PA=1，将△PAD沿AD折起，使面PAD⊥面ABCD（如图2）
（I）证明：平面PAD⊥PCD；
（II）试在棱PB上确定一点M，使截面AMC把几何体分成的两部分V_PDCMA：V_MACB=2：1；
（III）在M满足（Ⅱ）的情况下，判断直线AM是否平行面PCD．