2010-2011学年江苏省盐城市景山中学高三（上）月考数学试卷（解析版）

一、填空题

1. 难度：中等

设复数z满足z（2+i）=3-4i（其中i为虚数单位），则z的模为    ．

2. 难度：中等

命题“存在x∈R，使得x²+2x+5=0”的否定是    ．

3. 难度：中等

已知定义在R上的连续函数y=f（x）的图象在点M（1，f（1））处的切线方程为，则f（1）+f′（1）=    ．

4. 难度：中等

已知向量，满足，且，，则向量，的夹角为    ．

5. 难度：中等

已知函数f（x）=log₂x，x∈[，2]，在区间[，2]上随机取一点x，使得f（x）≥0的概率为    ．

6. 难度：中等

已知P（x，y）是抛物线y²=-12x的准线与双曲线的两条渐近线所围成的三角形平面区域内（含边界）的任意一点，则z=2x-y的最大值为    ．

7. 难度：中等

某货轮在A处看灯塔S在北偏东30°方向，它向正北方向航行24海里到达B处，看灯塔S在北偏东75°方向．则此时货轮到灯塔S的距离为    海里．

8. 难度：中等

已知集合A={x|log₂x≤2}，B=（-∞，a），若A⊆B则实数a的取值范围是（c，+∞），其中c=    ．

9. 难度：中等

若函数在区间（m-1，m+1）上单调递减，则实数m的取值范围是    ．

10. 难度：中等

若不等式对一切实数x恒成立，则a的取值范围是    ．

11. 难度：中等

关于直线m，n与平面α，β，有以下四个命题：
①若m∥a，n∥β且a∥β，则m∥n；②若m⊥a，n⊥β且a⊥β，则m⊥n；
③若m⊥a，n∥β且a∥β，则m⊥n；④若m∥a，n⊥β且a⊥β，则m∥n．
其中真命题的序号是    ．

12. 难度：中等

若在由正整数构成的无穷数列{a_n}中，对任意的正整数n，都有a_n≤a_n+1，且对任意的正整数k，该数列中恰有2k-1个k，则a₂₀₀₈=    ．

13. 难度：中等

已知椭圆的左、右焦点分别为F₁（-c，0），F₂（c，0），若椭圆上存在一点P使，则该椭圆的离心率的取值范围为    ．

14. 难度：中等

对任意实数a，b，定义：，如果函数，h（x）=-x+2，那么函数G（x）=F（F（f（x），g（x）），h（x））的最大值等于    ．

二、解答题

15. 难度：中等

在三角形ABC中，已知，设∠CAB=α，
（1）求角α的值；
（2）若，其中，求cosβ的值．

16. 难度：中等

如图①，E，F分别是直角三角形ABC边AB和AC的中点，∠B=90°，沿EF将三角形ABC折成如图②所示的锐二面角A₁-EF-B，若M为线段A₁C中点．
求证：（1）直线FM∥平面A₁EB；
（2）平面A₁FC⊥平面A₁BC．

17. 难度：中等

某港口O要将一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的轮船上，在小艇出发时，轮船位于港口O北偏西30°且与该港口相距20海里的A处，并正以30海里/小时的航行速度沿正东方向匀速行驶．假设该小艇沿直线方向以v海里/小时的航行速度匀速行驶，经过t小时与轮船相遇．
（Ⅰ）若希望相遇时小艇的航行距离最小，则小艇航行速度的大小应为多少？
（Ⅱ）为保证小艇在30分钟内（含30分钟）能与轮船相遇，试确定小艇航行速度的最小值；
（Ⅲ）是否存在v，使得小艇以v海里/小时的航行速度行驶，总能有两种不同的航行方向与轮船相遇？若存在，试确定v的取值范围；若不存在，请说明理由．

18. 难度：中等

已知F₁、F₂分别是椭圆的左、右焦点，P是此椭圆上的一动点，并且的取值范围是．
（Ⅰ）求此椭圆的方程；
（Ⅱ）点A是椭圆的右顶点，直线y=x与椭圆交于B、C两点（C在第一象限内），又P、Q是椭圆上两点，并且满足，求证：向量共线．

19. 难度：中等

已知数列{a_n}满足：a₁=1，a₂=a（a＞0），数列{b_n}满足b_n=a_na_n+1（n∈N^*）
（Ⅰ）若{a_n}是等差数列，且b₃=12，求数列{a_n}的通项公式．
（Ⅱ）若{a_n}是等比数列，求数列{b_n}的前n项和S_n．
（Ⅲ）若{b_n}是公比为a-1的等比数列时，{a_n}能否为等比数列？若能，求出a的值；若不能，请说明理由．

20. 难度：中等

已知函数（a＞0），且f′（1）=0．
（Ⅰ）试用含有a的式子表示b，并求f（x）的极值；
（Ⅱ）对于函数f（x）图象上的不同两点A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），如果在函数图象上存在点M（x，y）（其中x∈（x₁，x₂）），使得点M处的切线l∥AB，则称AB存在“伴随切线”．特别地，当时，又称AB存在“中值伴随切线”．试问：在函数f（x）的图象上是否存在两点A、B使得它存在“中值伴随切线”，若存在，求出A、B的坐标，若不存在，说明理由．

21. 难度：中等

如图，PAB是圆O的割线，AB为圆O的直径，PC为圆O的切线，C为切点，BD⊥PC于D，交圆O于点E，PA=AO=OB=1，
（1）求∠P的大小，
（2）求DE的长．

22. 难度：中等

求在矩阵对应的变换作用下得到点（1，0）的平面上点M的坐标．

23. 难度：中等

在平面直角坐标系xOy中，点P（x，y）是椭圆x²+4y²=4上的一个动点，求点P到直线距离的最小值．

24. 难度：中等

设x，y，z∈R⁺，求证：．

25. 难度：中等

已知四棱锥P-ABCD的底面为直角梯形，AB∥DC，∠DAB=90°，PA⊥底面ABCD，且PA=AD=DC=1，AB=2，M是PB的中点．
（1）求AC与PB所成的角余弦值；
（2）求二面角A-MC-B的余弦值．

26. 难度：中等

已知P是抛物线C：x²=2y上异于原点的一点．
（1） 过P点的切线l₁与x轴、y轴分别交于点M、N，求的值；
（2）过P点与切线l₁垂直的直线l₂与抛物线C交于另一点Q，且与x轴、y轴分别交于点S、T，求的取值范围．