2009-2010学年广东省中山一中高三（上）第三次段考数学试卷（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

抛物线y=ax²（a＜0）的焦点坐标是（ ）
A．
B．
C．
D．

2. 难度：中等

设集合，B={x|0＜x＜3}，那么“m∈A”是“m∈B”的（ ）
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件

3. 难度：中等

在平面直角坐标系中，不等式组，表示的平面区域的面积是（ ）
A．
B．4
C．
D．2

4. 难度：中等

命题“若x²＜1，则-1＜x＜1”的逆否命题是（ ）
A．若x²≥1，则x≥1或x≤-1
B．若-1＜x＜1，则x²＜1
C．若x＞1或x＜-1，则x²＞1
D．若x≥1或x≤-1，则x²≥1

5. 难度：中等

方程xy²-x²y=-2所表示的曲线的对称性是（ ）
A．关于x轴对称
B．关于y轴对称
C．关于直线y=-x对称
D．关于原点对称

6. 难度：中等

已知点A（3，2），F为抛物线y²=2x的焦点，点P在抛物线上，使|PA|+|PF|取得最小值，则最小值为（ ）
A．
B．2
C．
D．

7. 难度：中等

设实数x，y满足，则u=的最小值是（ ）
A．
B．2
C．3
D．

8. 难度：中等

设a，b，c，d∈R，则条件甲：ac=2（b+d）是条件乙：方程x²+ax+b=0与方程x²+cx+d=0中至少有一个有实根的（ ）
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件

二、填空题

9. 难度：中等

不等式组的解集是：   

10. 难度：中等

椭圆的一个顶点与两个焦点构成等边三角形，则离心率e=    ．

11. 难度：中等

在一次射击训练中，某战士连续射击了两次，设命题p是“第一次射击击中目标”，命题q是“第二次射击击中目标”，用p，q及逻辑连接词“或”“且”“非”（或∨，∧，¬）表示下列命题：
两次都击中目标可表示为：    ；恰好一次击中目标可表示为：    ．

12. 难度：中等

已知点P是圆x²+y²=1上的一个动点，过点P作PQ⊥x轴于点Q，设，则点M的轨迹方程    ．

13. 难度：中等

设双曲线-=1的右顶点为A，右焦点为F．过点F平行于双曲线的一条渐近线的直线与双曲线交于点B，则△AFB的面积为    ．

14. 难度：中等

已知抛物线y²=4x与直线y=2x-4交于A，B两点，如果在该抛物线上存在点C，使得（O为坐标原点），则实数λ=    ．

三、解答题

15. 难度：中等

已知关于x的不等式x²-3x+m＜0的解集是{x|1＜x＜n}．
（1）求实数m，n的值；
（2）若正数a，b满足：ma+2nb=3，求a•b的最大值．

16. 难度：中等

如果双曲线的两个焦点分别为F₁（-3，0），F₂（3，0），一条渐近线方程为：
（1）求该双曲线的方程；
（2）过焦点F₂，倾斜角为的直线与该双曲线交于A，B两点，求|AB|．

17. 难度：中等

如图，椭圆以边长为1的正方形ABCD的对角顶点A，C为焦点，且经过各边的中点，试建立适当的坐标系，求椭圆的方程．

18. 难度：中等

甲、乙两地相距S千米，汽车从甲地匀速行驶到乙地，速度不得超过C千米/小时，已知汽车每小时的运输成本（以元为单位）由可变部分与固定部分组成：可变部分与速度V（千米/小时）的平方成正比且比例系数为b，固定成本为a元．
（1）把全程运输成本y（元）表示为速度v（千米/小时）的函数，并指出这个函数的定义域；
（2）为了使全程运输成本最小，汽车应以多大速度行驶？

19. 难度：中等

正方形ABCD中，一条边AB在直线y=x+4上，另外两顶点C、D在抛物线y²=x上，求正方形的面积．

20. 难度：中等

已知，椭圆C过点A，两个焦点为（-1，0），（1，0）．
（1）求椭圆C的方程；
（2）E，F是椭圆C上的两个动点，如果直线AE的斜率与AF的斜率互为相反数，证明直线EF的斜率为定值，并求出这个定值．