2010-2011学年江苏省徐州市郑集高级中学高三（上）期末数学模拟试卷（解析版）

一、填空题

1. 难度：中等

已知命题p：|x|＜2，命题q：x²-x-2＜0，则p是q的     条件

2. 难度：中等

如果复数（m²+i）（1+mi）是实数，则实数m=    ．

3. 难度：中等

按如图所示的程序框图运行后，输出的结果是63，则判断框中的整数M的值是     ．

4. 难度：中等

等比数列{a_n}的前n项和为S_n，已知S₁，2S₂，3S₃成等差数列，则{a_n}的公比为    ．

5. 难度：中等

使函数f（x）=x+2cosx在[0，]上取最大值的x为    ．

6. 难度：中等

已知函数，若f（x）≥1，则x的取值范围为    ．

7. 难度：中等

已知集合A=，在集合A中任取一个元素x，则事件“x∈A∩B”的概率是    ．

8. 难度：中等

设函数，若关于x的方程f²（x）-af（x）=0恰有三个不同的实数解，则实数a的取值范围为    ．

9. 难度：中等

己知x＞0，由不等式，启发我们可以推广结论：，则m=    ．

10. 难度：中等

已知A（5，2）、B（1，1）、，在△ABC所在的平面区域内，若使目标函数z=ax+y（a＞0）取得最大值的最优解有无穷多个，则a的值为    ．

11. 难度：中等

椭圆的左、右焦点分别为F₁，F₂，P为椭圆M上任一点，且|PF₁|•|PF₂|的最大值的取值范围是[2c²，3c²]，其中，则椭圆m的离心率e的取值范围是    ．

12. 难度：中等

已知向量=（2，1），=（1，7），=（5，1），设X是直线OP上的一点（O为坐标原点），那么的最小值是     ．

13. 难度：中等

已知定义在R上的函数f（x）满足f（2）=3，f′（x）-1＜0，则不等式f（x²）＜x²+1的解集为    ．

14. 难度：中等

已知：M={a|函数y=2sinax在[]上是增函数}，N={b|方程3^-|x-1|-b+1=0有实数解}，设D=M∩N，且定义在R上的奇函数在D内没有最小值，则m的取值范围是    ．

二、解答题

15. 难度：中等

在△ABC中，a，b，c分别是角A、B、C所对的边，且b²=ac，向量m=（cos（A-C），1）和n=（1，cosB）满足．
（1）求sinAsinC的值；
（2）求证：三角形ABC为等边三角形．

16. 难度：中等

已知直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，△ABC为等腰直角三角形，∠BAC=90°，且AB=AA₁=2，D、E、F分别为B₁A、C₁C、BC的中点．
（Ⅰ）求证：DE∥平面ABC；
（Ⅱ）求证：B₁F⊥平面AEF；
（Ⅲ）求三棱锥E-AB₁F的体积．

17. 难度：中等

设圆C₁：x²+y²-10x-6y+32=0，动圆C₂：x²+y²-2ax-2（8-a）y+4a+12=0，
（Ⅰ）求证：圆C₁、圆C₂相交于两个定点；
（Ⅱ）设点P是椭圆上的点，过点P作圆C₁的一条切线，切点为T₁，过点P作圆C₂的一条切线，切点为T₂，问：是否存在点P，使无穷多个圆C₂，满足PT₁=PT₂？如果存在，求出所有这样的点P；如果不存在，说明理由．

18. 难度：中等

扬州某地区要建造一条防洪堤，其横断面为等腰梯形，腰与底边成角为60°（如图），考虑到防洪堤坚固性及石块用料等因素，设计其横断面要求面积为平方米，且高度不低于米．记防洪堤横断面的腰长为x（米），外周长（梯形的上底线段BC与两腰长的和）为y（米）．
（1）求y关于x的函数关系式，并指出其定义域；
（2）要使防洪堤横断面的外周长不超过10.5米，则其腰长x应在什么范围内？
（3）当防洪堤的腰长x为多少米时，堤的上面与两侧面的水泥用料最省（即断面的外周长最小）？求此时外周长的值．

19. 难度：中等

已知函数f（x）=a^x+x²-xlna（a＞0，a≠1）．
（Ⅰ）当a＞1时，求证：函数f（x）在（0，+∞）上单调递增；
（Ⅱ）若函数y=|f（x）-t|-1有三个零点，求t的值；
（Ⅲ）若存在x₁，x₂∈[-1，1]，使得|f（x₁）-f（x₂）|≥e-1，试求a的取值范围．

20. 难度：中等

已知数列{a_n}的通项公式为a_n=2+（n∈N^*）．
（1）求数列{a_n}的最大项；
（2）设b_n=，试确定实常数p，使得{b_n}为等比数列；
（3）设m，n，p∈N^*，m＜n＜p，问：数列{a_n}中是否存在三项a_m，a_n，a_p，使数列a_m，a_n，a_p是等差数列？如果存在，求出这三项；如果不存在，说明理由．