《第1章 导数及其应用》2010年单元测试卷（3）（解析版）

一、填空题

1. 难度：中等

已知直线y=x+2与曲线y=ln（x+a）相切，则a的值为    ．

二、解答题

2. 难度：中等

已知过原点O作函数f（x）=e^x（x²-x+a）的切线恰好有三条，切点分别为（x₁，y₁），（x₂，y₂），（x₃，y₃），且x₁＜x₂＜x₃．
（Ⅰ）求实数a的取值范围．
（Ⅱ）求证：x₁＜-3．

3. 难度：中等

已知函数，m∈R．
（Ⅰ）求f（x）的极值；
（Ⅱ）若lnx-ax＜0在（0，+∞）上恒成立，求a的取值范围．

4. 难度：中等

已知函数f（x）=a^x+x²-xlna（a＞0，a≠1）．
（Ⅰ）当a＞1时，求证：函数f（x）在（0，+∞）上单调递增；
（Ⅱ）若函数y=|f（x）-t|-1有三个零点，求t的值．

5. 难度：中等

已知函数f（x）=ax（a∈R），g（x）=lnx-1．
（1）若函数h（x）=g（x）+1-f（x）-2x存在单调递减区间，求a的取值范围；
（2）当a＞0时，试讨论这两个函数图象的交点个数．

6. 难度：中等

已知函数（a，b∈R）
（1）若y=f（x）图象上的点处的切线斜率为-4，求y=f（x）的极大值；
（2）若y=f（x）在区间[-1，2]上是单调减函数，求a+b的最小值．

7. 难度：中等

已知函数f（x）=ln（x+1）-（k为常数）
（1）求f（x）的单调区间；
（2）求证不等式在x∈（0，1）时恒成立．

8. 难度：中等

已知向量，（其中实数y和x不同时为零），当|x|＜2时，有，当|x|≥2时，．
（1）求函数式y=f（x）；
（2）求函数f（x）的单调递减区间；
（3）若对∀x∈（-∞，-2]∪[2，+∞），都有mx²+x-3m≥0，求实数m的取值范围．

9. 难度：中等

设a＞0，函数 f（x）=．
（Ⅰ）求函数 f（x） 的单调区间；
（Ⅱ）当 x=时，函数f（x） 取得极值，证明：对于任意的 x₁，x₂∈[，]；|f（x₁）-f（x₂）|≤．

10. 难度：中等

已知函数f（x）=xln（1+x）-a（x+1），其中a为实常数．
（1）当x∈[1，+∞）时，f′（x）＞0恒成立，求a的取值范围；
（2）求函数的单调区间．

11. 难度：中等

已知函数f（x）=2-lnx-2．
（I）求f（x）的单调区间；
（II）若不等式＞恒成立，求实数m的取值组成的集合．

12. 难度：中等

对于三次函数f（x）=ax³+bx²+cx+d（a≠0）．定义：（1）f（x）的导数f′（x）（也叫f（x）一阶导数）的导数，f″（x）为f（x）的二阶导数，若方程f″（x）=0有实数解x，则称点（x，f（x） ）为函数y=f（x）的“拐点”；定义：（2）设x为常数，若定义在R上的函数y=f（x）对于定义域内的一切实数x，都有f（x+x）+f（x-x）=2f（x）恒成立，则函数y=f（x）的图象关于点（x，f（x））对称．
（1）己知f（x）=x³-3x²+2x+2，求函数f（x）的“拐点”A的坐标；
（2）检验（1）中的函数f（x）的图象是否关于“拐点”A对称；
（3）对于任意的三次函数f（x）=ax³+bx²+cx+d（a≠0）写出一个有关“拐点”的结论（不必证明）．

13. 难度：中等

已知函数f（x）=x²+ax-lnx，a∈R．
（1）若函数f（x）在[1，2]上是减函数，求实数a的取值范围；
（2）令g（x）=f（x）-x²，是否存在实数a，当x∈（0，e]（e是自然常数）时，函数g（x）的最小值是3，若存 在，求出a的值；若不存在，说明理由．

14. 难度：中等

已知函数f（x）=-x³+ax²+bx+c图象上的点P（1，f（1））处的切线方程为y=-3x+1，函数g（x）=f（x）-ax²+3是奇函数．
（1）求函数f（x）的表达式；
（2）求函数f（x）的极值．

15. 难度：中等

已知函数f（x）=aln（x+1）+（x+1）²在x=1处有极值．
（1）求实数a值；
（2）求函数f（x）的单调区间；
（3）试问是否存在实数m，使得不等式m²+tm+e²-14≤f（x）对任意x∈[e-1，e]及t∈[-1，1]恒成立？若存在，求出m的取值范围；若不存在，请说明理由．（e=2.71828…）

16. 难度：中等

设函数．
（1）求函数y=f（x）的单调区间；
（2）求y=f（x）在[-1，2]上的最小值．

17. 难度：中等

如图所示，在直角坐标系xOy中，射线OA在第一象限，且与x轴的正半轴成定角60°，动点P在射线OA上运动，动点Q在y轴的正半轴上运动，△POQ的面积为．
（1）求线段PQ中点M的轨迹C的方程；
（2）R₁，R₂是曲线C上的动点，R₁，R₂到y轴的距离之和为1，设u为R₁，R₂到x轴的距离之积．问：是否存在最大的常数m，使u≥m恒成立？若存在，求出这个m的值；若不存在，请说明理由．

18. 难度：中等

已知函数f（x）=alnx-bx²图象上一点P（2，f（2））处的切线方程为y=-3x+2ln2+2．
（Ⅰ）求a，b的值；
（Ⅱ）若方程f（x）+m=0在内有两个不等实根，求m的取值范围（其中e为自然对数的底数）；
（Ⅲ）令g（x）=f（x）-kx，若g（x）的图象与x轴交于A（x₁，0），B（x₂，0）（其中x₁＜x₂），AB的中点为C（x，0），求证：g（x）在x处的导数g′（x）≠0．

三、选择题

19. 难度：中等

函数为f（x）的导函数，令则下列关系正确的是（ ）
A．f（a）＞f（b）
B．f（a）＜f（b）
C．f（a）=f（b）
D．f（|a|）＞f（b）

20. 难度：中等

已知曲线y=x²的一条切线的斜率为，则切点的横坐标为（ ）
A．4
B．3
C．2
D．

21. 难度：中等

函数f（x）=x³+x在点x=1处的切线方程为（ ）
A．4x-y+2=0
B．4x-y-2=0
C．4x+y+2=0
D．4x+y-2=0

22. 难度：中等

若函数f（x）=e^x+ae^-x，其导函数是奇函数，并且曲线y=f（x）的一条切线的斜率是，则切点的横坐标是（ ）
A．
B．-ln2
C．
D．ln2

23. 难度：中等

已知函数f（x）在R上可导，且f（x）=x²+2x•f′（2），则f（-1）与f（1）的大小关系为（ ）
A．f（-1）=f（1）
B．f（-1）＞f（1）
C．f（-1）＜f（1）
D．不确定

24. 难度：中等

已知定义域为R的函数y=f（x）满足f（-x）=-f（x+4），当x＞2时，f（x）单调递增，若x₁+x₂＜4且（x₁-2）（x₂-2）＜0，则f（x₁）+f（x₂）的值（ ）
A．恒大于0
B．恒小于0
C．可能等于0
D．可正可负

四、填空题

25. 难度：中等

若曲线f（x）=x⁴-x+2在点发P处的切线与直线x+3y-1=0垂直，则点P的坐标是    ．

26. 难度：中等

函数y=x+2cosx在区间[0，π]上的最大值为    ．

27. 难度：中等

已知函数f（x）=x³+ax²+bx+c的一个零点为x=1，另外两个零点可分别作为一个椭圆、一双曲线的离心率，则a+b+c=    ；的取值范围是    ．

28. 难度：中等

若函数f（x）=x³+x²+mx+1是R上的单调递增函数，则m的取值范围是    ．

29. 难度：中等

已知直线y=x+b是曲线y=lnx-1的一条切线，则b=    ．

30. 难度：中等

曲线y=2x-lnx在点（1，2）处的切线方程是    ．