《第2章 数列》2010年单元测试卷（2）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

公差不为零的等差数列{a_n}中，2a₃-a₇²+2a₁₁=0，数列{b_n}是等比数列，且b₇=a₇则b₆b₈=（ ）
A．2
B．4
C．8
D．16

2. 难度：中等

设等比数列{a_n}的前n项和为S_n，若=3，则=（ ）
A．2
B．
C．
D．3

3. 难度：中等

方程x²-5x+4=0的两根的等比中项是（ ）
A．
B．±2
C．
D．2

4. 难度：中等

记等差数列的前n项和为S_n，若S₂=4，S₄=20，则该数列的公差d=（ ）
A．2
B．3
C．6
D．7

5. 难度：中等

已知数列{a_n}是公比为q的等比数列，且a₂，a₄，a₃成等差数列．则q=（ ）
A．1
B．
C．或1
D．-1或

6. 难度：中等

在数列{a_n}中，a₁=1，当x∈N^*时，a_n+1-a_n=n，则a₁₀₀的值为（ ）
A．4950
B．4951
C．5050
D．5051

7. 难度：中等

在等比数列{a_n}中，S₄=1，S₈=3，则a₁₇+a₁₈+a₁₉+a₂₀的值是（ ）
A．14
B．16
C．18
D．20

8. 难度：中等

数列{a_n}中，a_n+1•a_n=a_n+1-1，且a₂₀₁₀=2，则前2010项的和等于（ ）
A．1005
B．2010
C．1
D．0

9. 难度：中等

已知数列{a_n}的通项a_n=2^7-2n（n∈N^*），若b_n=log₂a_n，则数列{b_n}的前n项和S_n中最大的是（ ）
A．S₆
B．S₅
C．S₄
D．S₃

10. 难度：中等

已知等比数列a_n的前n项和为S_n，且S₃=3a₁，则数列a_n的公比q的值为（ ）
A．-2
B．1
C．-1或2
D．1或-2

11. 难度：中等

公差不为零的等差数列{a_n}中，a₂，a₃，a₆成等比数列，则其公比q为（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4

12. 难度：中等

已知等差数列a_n的前n项和为S_n，且a₂+a₄=-30，a₁+a₄+a₇=-39，则使得S_n达到最小值的n是（ ）
A．8
B．9
C．10
D．11

13. 难度：中等

已知S_n是等差数列{a_n}的前n项和，若S₃=6，a₅=8，则S₁₂-S₉的值是（ ）
A．24
B．42
C．60
D．78

14. 难度：中等

共有10项的数列{a_n}的通项a_n=，则该数列中最大项、最小项的情况是（ ）
A．最大项为a₁，最小项为a₁₀
B．最大项为a₁₀，最小项为a₁
C．最大项为a₆，最小项为a_5*
D．最大项为a₄，最小项为a₃

15. 难度：中等

已知数列{a_n}满足3a_n+1+a_n=4（n∈N*）且a₁=9，其前n项和为S_n，则满足不等式|S_n-n-6|＜的最小整数n是（ ）
A．5
B．6
C．7
D．8

16. 难度：中等

数列{a_n}前n项和为S_n，已知，且对任意正整数m，n，都有a_m+n=a_m•a_n，若S_n＜a恒成立则实数a的最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．2

17. 难度：中等

已知等比数列{a_n}的公比q＞0且q≠1，又a₆＜0，则（ ）
A．a₅+a₇＞a₄+a₈
B．a₅+a₇＜a₄+a₈
C．a₅+a₇=a₄+a₈
D．|a₅+a₇|＞|a₄+a₈|

18. 难度：中等

设S_n=1+2+3+…+n，n∈N^*，则函数的最大值为（ ）
A．
B．
C．
D．

二、填空题

19. 难度：中等

等差数列{a_n}中，a₁+a₂+a₃=-24，a₁₈+a₁₉+a₂₀=78，则此数列前20项和等于    ．

20. 难度：中等

记等差数列{a_n}的前n项和为S_n，若S₂=4，S₄=20，则该数列的公差d=    ．

21. 难度：中等

已知数列{a_n}为等差数列，且a₁+a₇+a₁₃=4π，则tan（a₂+a₁₂）=    ．

22. 难度：中等

在等比数列{a_n}中，若a₁a₂a₃=2，a₂a₃a₄=16，则公比q=   

23. 难度：中等

在等比数列{a_n}中，a₁=1，公比q=2，若a_n=64，则n的值为     ．

24. 难度：中等

在等比数列a_n中，若a₂，a₈是方程3x²-11x+6=0的两根，则log₂（a₁a₂…a₉）=    ．

25. 难度：中等

已知数列{a_n}满足a_n²=a_n-1a_n+1（n∈N^*，n≥2），若，a₄a₆=4，则a₄+a₅+a₆=    ．

26. 难度：中等

设数列x_n满足log₂x_n+1=1+log₂x_n（n∈N^*），且x₁+x₂+…+x₁₀=10，记x_n的前n项和为S_n，则S₂₀=    ．

27. 难度：中等

数列{a_n}的前n项和为S_n，满足S_n=，设，则数列的前19项和为     ．

28. 难度：中等

设曲线y=xⁿ⁺¹（n∈N^*）在点（1，1）处的切线与x轴的交点的横坐标为x_n，则x₁•x₂•…•x_n的值为    ．

三、解答题

29. 难度：中等

数列{a_n}的前n项和为S_n=n²，数列{b_n}满足b₁=1，且b_n=2b_n-1+1，n≥2．
（1）求a_n，b_n的表达式；
（2）设c_n=a_n•b_n，求数列{c_n}的前n项和T_n．

30. 难度：中等

设数列{a_n}的前n项和为S_n，对一切n∈N*，点（n，）都在函数f（x）=x+的图象上．
（1）求a₁，a₂，a₃的值，猜想a_n的表达式，并证明你的猜想．
（2）设A_n为数列{}的前n项积，是否存在实数a，使得不等式A_n对一切n∈N*都成立？若存在，求出a的取值范围，若不存在，说明理由．

31. 难度：中等

对于数列a_n，（1）已知a_n是一个公差不为零的等差数列，a₅=6．
①当a₃=2时，若自然数n₁，n₂，…，n_t，…满足5＜n₁＜n₂＜…＜n_t＜…，且a₃，a₅，a_n1，a_n2，…，a_nt，…是等比数列，试用t表示n_t；
②若存在自然数n₁，n₂，…，n_t，…满足5＜n₁＜n₂＜…＜n_t＜…，且a₃，a₅，a_n1，a_n2，…，a_nt，…构成一个等比数列．求证：当a₃是整数时，a₃必为12的正约数．
（2）若数列a_n满足a_n+1a_n+3a_n+1+a_n+4=0，且a₂₀₀₉小于数列a_n中的其他任何一项，求a₁的取值范围．

32. 难度：中等

已知函数f（x）=x²+2x．
（Ⅰ）数列a_n满足：a₁=1，a_n+1=f'（a_n），求数列a_n的通项公式；
（Ⅱ）已知数列b_n满足b₁=t＞0，b_n+1=f（b_n）（n∈N*），求数列b_n的通项公式；
（Ⅲ）设的前n项和为S_n，若不等式λ＜S_n对所有的正整数n恒成立，求λ的取值范围．

33. 难度：中等

设数列{a_n}的前n项和为S_n，且对任意的n∈N^*，都有a_n＞0，．
（1）求a₁，a₂的值；
（2）求数列{a_n}的通项公式a_n；
（3）证明：a_2n+1ⁿ≥a_2nⁿ+a_2n-1ⁿ．

34. 难度：中等

曲线y=xⁿ⁺¹（n∈N⁺）在点（2，2ⁿ⁺¹）处的切线与x轴的交点的横坐标为a_n．
（Ⅰ）求a_n；
（Ⅱ）设，求数列{b_n}的前n项和S_n．

35. 难度：中等

已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且a₁=1，a_n+1=2S_n．
（1）求a₂，a₃，a₄的值；
（2）求数列{a_n}的通项公式a_n；
（3）设b_n=na_n，求数列{b_n}的前n项和T_n．

36. 难度：中等

已知点P_n（a_n，b_n）满足，且P₁点的坐标是（1，-1）．
（Ⅰ）求过P₁，P₂两点的直线l的方程，并证明点 P_n在直线l上；
（Ⅱ）求使不等式对所有n∈N^*成立的最大实数λ．

37. 难度：中等

在等差数列{a_n}中，设S_n为它的前n项和，若S₁₅＞0，S₁₆＜0，且点A（3，a₃）与B（5，a₅）都在斜率为-2的直线l上．
（Ⅰ）求a₁的取值范围；
（Ⅱ）指出中哪个值最大，并说明理由．

38. 难度：中等

已知数列a_n的前n项和，n∈N₊．
（1）求a_n的通项公式；
（2）设n∈N₊，集合A_n={y|y=a_i，i≤n，i∈N₊}，B={y|y=4m+1，m∈N₊}．现在集合A_n中随机取一个元素y，记y∈B的概率为p（n），求p（n）的表达式．

39. 难度：中等

在数列{a_n}中，已知a₁=2，a_n+1=4a_n-3n+1，n∈N^*．
（1）设b_n=a_n-n，求数列{b_n}的通项公式；
（2）设数列a_n的前n项和为S_n，证明：对任意的n∈N^*，不等式S_n+1≤4S_n恒成立．

40. 难度：中等

在数列a_n中，a₁=2，a_n+1=2a_n+2ⁿ⁺¹（n∈N）．
（1）求证：数列为等差数列；
（2）若m为正整数，当

41. 难度：中等

设数列{b_n}的前n项和为S_n，且b_n=2-2S_n；数列{a_n}为等差数列，且a₅=14，a₇=20．
（1）求数列{b_n}的通项公式；
（2）若c_n=a_n•b_n，n=1，2，3，…，T_n为数列{c_n}的前n项和．求证：．

42. 难度：中等

已知在各项不为零的数列{a_n}中，a₁=1，a_na_n-1+a_n-a_n-1=0（n≥2，n∈N⁺）
（I）求数列{a_n}的通项；
（Ⅱ）若数列{b_n}满足b_n=a_na_n+1，数列{b_n}的前n项和为S_n，求．

43. 难度：中等

已知数列{a_n}满足：a₁=1，a_n+1=
（1）求a₂，a₃，a₄，a₅；
（2）设b_n=a_2n+1+4n-2，n∈N^*，求证：数列{b_n}是等比数列，并求其通项公式；
（3） 求数列{a_n}前100项中的所有奇数项的和S．