2009-2010学年广东省深圳外国语学校高三（上）第三次月考数学试卷（文科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

已知全集u={1，2，3，4，5}，A={2，4，5}，B={1，3，4}，则（C_uA）∩B为（ ）
A．∅
B．{4}
C．{1，3}
D．{2，5}

2. 难度：中等

若复数（a∈R，i为虚数单位位）是纯虚数，则实数a的值为（ ）
A．-2
B．4
C．-6
D．6

3. 难度：中等

正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，异面直线CD₁和BC₁所成的角是（ ）
A．60°
B．45°
C．90°
D．120°

4. 难度：中等

设等差数列{a_n}的前n项和S_n，且a₁+a₂+a₃=4，a₇+a₈+a₉=16，则S₉=（ ）
A．28
B．30
C．42
D．48

5. 难度：中等

定义行列式运算，将函数的图象向左平移n（n＞0）个单位，所得图象对应的函数为偶函数，则n的最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．

6. 难度：中等

在△OAB中，=，=，M为OB的中点，N为AB的中点，ON，AM交于点P，则=（ ）
A．-
B．-+
C．-
D．-+

7. 难度：中等

过点（-4，0 ）作直线ι与圆x²+y²+2x-4y-20=0交于A、B两点，若AB=8，则ι的方程为（ ）
A．5x+12y+20=0或x+4=0
B．5x-12y+20=0
C．5x-12y+20=0或x+4=0
D．5x+12y+20=0

8. 难度：中等

双曲线的焦距为4，它的一个顶点是抛物线y²=4x的焦点，则双曲线的离心率e=（ ）
A．
B．
C．2
D．

9. 难度：中等

若偶函数f（x）在（-∞，0]内单调递减，则不等式f（-1）＜f（lgx）的解集是（ ）
A．（0，10）
B．
C．
D．（0，）∪（10，+∞）

10. 难度：中等

已知点（x，y）所在的可行域如图所示．若要使目标函数z=ax+y取得最大值的最优解有无数多个，则a的值为（ ）

A．4
B．
C．
D．

二、填空题

11. 难度：中等

若点M（3，0）是圆x²+y²-8x-2y+10=0内的一点，那么过点M的最短弦所在的直线方程是   

12. 难度：中等

曲线f（x）=lnx-x²在点（1，-1）处的切线的倾斜角为    ．

13. 难度：中等

如果椭圆的对称轴为坐标轴，短轴的一个端点与两焦点组成一正三角形，焦点在y轴上，且a-c=那么椭圆的方程是    ．

14. 难度：中等

定义在R上的奇函数f（x）满足：对于任意x∈R有f（x+3）=-f（x）．若tanα=2，则f（15sinαcosα）的值为     ．

三、解答题

15. 难度：中等

已知△ABC的三个内角A、B、C所对的边分别为a，b，c，向量=（4，-1），且．
（1）求角A的大小；
（2）若a=，试判断b×c取得最大值时△ABC形状．

16. 难度：中等

已知以点P为圆心的圆过点A（-1，0）和B（3，4），线段AB的垂直平分线交圆P于点C、D，且|CD|=．
（1）求直线CD的方程；
（2）求圆P的方程；
（3）设点Q在圆P上，试探究使△QAB的面积为8的点Q共有几个？证明你的结论．

17. 难度：中等

如图，在四棱锥P-ABCD中，侧面PAD⊥底面ABCD，侧棱PA=PD=，底面ABCD为直角梯形，其中BC∥AD，AB⊥AD，AD=2AB=2BC=2，O为AD中点．
（Ⅰ）求证：PO⊥平面ABCD；
（Ⅱ）求异面直线PB与CD所成角的余弦值；
（Ⅲ）求点A到平面PCD的距离．

18. 难度：中等

已知函数f（x）=ln（2x-1）+ax²-3x在x=1处取得极值．
（1）求函数f（x）的单调区间；
（2）求证：∀x∈（1，3]，m∈（0，+∞），．

19. 难度：中等

已知双曲线=1（a＞0，b＞0）的离心率为，右准线方程为．
（Ⅰ）求双曲线C的方程；
（Ⅱ）已知直线x-y+m=0与双曲线C交于不同的两点A，B，且线段AB的中点在圆x²+y²=5上，求m的值．

20. 难度：中等

已知函数f（x）=
（1）当x≥1时，证明：不等式f（x）≤x+lnx恒成立．
（2）若数列{a_n}满足a₁=，a_n+1=f（a_n），b_n=，n∈N⁺，证明数列{b_n}是等比数列，并求出数列{b_n}、{a_n}的通项公式；
（3）在（2）的条件下，若c_n=a_n•a_n+1•b_n+1（n∈N⁺），证明：c₁+c₂+c₃+…c_n＜