2010-2011学年福建省龙岩市永定一中高二（下）第一次段考数学试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

已知函数f（x）=x²+2，则该函数在区间[1，3]上的平均变化率为（ ）
A．4
B．3
C．2
D．1

2. 难度：中等

已知某物体的运动方程是S=t+t³，则当t=3s时的瞬时速度是（ ）
A．10m/s
B．9m/s
C．4m/s
D．3m/s

3. 难度：中等

已知则∫_-a^acosxdx=（a＞0），则∫^acosxdx=（ ）
A．2
B．1
C．
D．

4. 难度：中等

设f（x）在点x=x处可导，且，则f′（x_o）=（ ）
A．1
B．0
C．7
D．

5. 难度：中等

曲线f（x）=x³+x-2在p处的切线平行于直线y=4x-1，则p点的坐标为（ ）
A．（1，0）
B．（2，8）
C．（2，8）和（-1，-4）
D．（1，0）和（-1，-4）

6. 难度：中等

由曲线y=x²+2与y=3x，x=0，x=1所围成的平面图形的面积为（ ）
A．
B．1
C．
D．2

7. 难度：中等

在函数y=x³-8x的图象上，其切线的倾斜角小于的点中，坐标为整数的点的个数是（ ）
A．3
B．2
C．1
D．0

8. 难度：中等

已知函数y=xf′（x）的图象如图所示（其中f′（x）是函数f（x）的导函数），下面四个图象中y=f（x）的图象大致是（ ）

A．
B．
C．
D．

9. 难度：中等

厚度均匀的圆柱形金属饮料罐容积一定时，它的高与底面半径的比为（ ），才能使材料最省？
A．
B．2
C．
D．3

10. 难度：中等

设f（x），g（x）是定义在R上的恒大于零的可导函数，且满足f′（x）g（x）-f（x）g′（x）＞0，则当a＜x＜b时有（ ）
A．f（x）g（x）＞f（b）g（b）
B．f（x）g（a）＞f（a）g（x）
C．f（x）g（b）＞f（b）g（x）
D．f（x）g（x）＞f（a）g（a）

二、填空题

11. 难度：中等

曲线y=x³+x+1在点（1，3）处的切线方程是    ．

12. 难度：中等

函数y=x-2sinx在（0，2π）内的单调增区间为    ．

13. 难度：中等

已知f（x）=x²f′（2）-3x，则f′（3）=    ．

14. 难度：中等

按万有引力定律，两质点间的吸引力，k为常数，m₁，m₂为两质点的质量，r为两点间距离，若两质点起始距离为a，质点m₁沿直线移动至离m₂的距离为b处（b＞a），则克服吸引力所作之功为    ．

15. 难度：中等

下列命题中正确的有    ．（填上所有正确命题的序号）
①若f（x）可导且f'（x）=0，则x是f（x）的极值点；
②函数f（x）=xe^-x，x∈[2，4]的最大值为2e^-2；
③已知函数，则的值为；
④一质点在直线上以速度v=t²-4t+3（m/s）运动，从时刻t=0（s）到t=4（s）时质点运动的路程为．

三、解答题

16. 难度：中等

计算下列定积分：
（1）；（2）．

17. 难度：中等

已知曲线 y=x³+x-2 在点 P处的切线 l₁ 平行直线4x-y-1=0，且点 P在第三象限，
（1）求P的坐标；
（2）若直线 l⊥l₁，且 l 也过切点P，求直线l的方程．

18. 难度：中等

设函数f（x）=x³-6x+5，x∈R
（Ⅰ）求f（x）的单调区间和极值；
（Ⅱ）若关于x的方程f（x）=a有3个不同实根，求实数a的取值范围．

19. 难度：中等

已知f（x）=（x²+ax+a）e^-x（a≤2，x∈R）．
（1）当a=1时，求f（x）的单调区间；
（2）是否存在实数a，使f（x）的极大值为3？若存在，求出a的值，若不存在，说明理由．

20. 难度：中等

某工厂拟建一座平面图（如图所示）为矩形且面积为200m²的三级污水处理池，由于地形限制，长、宽都不能超过16m．如果池外周壁建造单价为每米400元，中间两条隔墙建造单价为每米248元，池底建造单价为每平方米80元（池壁厚度忽略不计，且池无盖）．
（1）写出总造价y（元）与污水处理池长x（m）的函数关系式，并指出其定义域；
（2）求污水处理池的长和宽各为多少时，污水处理池的总造价最低？并求出最低总造价．

21. 难度：中等

已知f（x）=xlnx，g（x）=x³+ax²-x+2．
（Ⅰ）如果函数g（x）的单调递减区间为，求函数g（x）的解析式；
（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，求函数y=g（x）的图象在点P（-1，1）处的切线方程；
（Ⅲ）若不等式2f（x）≤g′（x）+2的解集为P，且（0，+∞）⊆P，求实数a的取值范围．